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Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemáticas
GUIA N 5 DE CALCULO MA

1

389

Integrales Dobles.1. Calcular las siguientes integrales dobles, en cada caso dibuje la región de integración:
Z 3Z 1
p
a)
x + y dx dy
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

Z
Z
Z
Z

Z

Z

0
0
ln 2 Z ln 5
0

0

0
2
1

0
4
0

ZZ
D

i)

ZZ

Z
Z

Z

Z

Z

ZZ

k)ZZ

D

y

dx dy

sen2 x sen 2 y dx dy
0

jcos(xy)j dx dy

0
2x

xy 3 dy dx
0
y2

sen
0
y

x
y

dx dy

dx dy
0
2

x cos y dA ; D : región limitada por y = x ; y = 0 ; x =
x
dA ; D = (x; y) 2 R = y
x2 + y 2

D

j)

e2x

0

x

p

1

y2

0^y

x^x

1^x

r

2
p

3

dA ; D : región limitada por x = 0 ; y = x ; y = 0 ; y =

x
e y dA ; D= (x; y) = y

x

y3 ^ 1

y

2

D

l)

ZZ

x cos(x + y) dA ; D: triángulo de vértices (0; 0); ( ; 0); ( ; )

D

m)

ZZ

ex+y dA ; D = f(x; y) = jxj + jyj

1g

D

n)

ZZ

x2 y 2 dA ;

D: porción del I cuad. acotadas por las hipérbolas
xy = 1 ; xy = 2 y las rectas y = x ; y = 4x

D

2. Invertir el orden de integración, en las siguientes integrales:
Z 2Z x 2x
a)
dy dx
2
1
1 y
Z 2 Z p4 x2
b)
xy dy dx
p
2

4 x2

1

1
2

c)
d)

e)
f)

Z

Z

Z
Z

a
0
1
0
4
0
2
0

Z

Z
Z

Z

p

a2 x2

a
0
1

p

y2

3=2

dy dx

1 + x2 dx dy

y
y 4
2
p

f (x; y) dA

4 y

sen x

f (x; y) dA
0

3. Evaluar las siguientes integrales dobles en la región D dada:
ZZ
a)
x2 dA, D región sombreada
Db)

ZZ

xy 2 dA, D región sombreada

D

2

c)

ZZ

xy dA, D región que se indica

D

4. Utilizando integral doble, hallar el área de la región D acotada por las curvas:
a) y 2 = 4x ; x2 = 4y
c) x2 + y 2 = 16 ; y 2 = 6x

b) y = 9 x2 ; y = x2 9
d) xy 4 ; y x ; 27y 4x2

5. Calcular, usando integrales dobles, el volumen limitado por las super…cies que se indican:
a) z =x2 + 4y 2 ; x2 + 4y 2 = 4 ; z = 0
b) x2 + y 2

2ax = 0 ; z = 0 ; x2 + y 2 = z 2

x2
y2
; x = 3 ; y = 1 ; x = 0 ; y = 0 ;z = 0
9
16
d) x2 + y 2 + z 2 = 25 ; z = 2 ; z = 4
c) z = 4

6. Calcular el área de las siguientes super…cies:
a) La porción del primer octante del cilindro x2 + z 2 = a2 ; que está incluida en los planos
y = 0 ; y = x:
b) Sobre el cilindro comprendido entre laesfera x 2 + y 2 + z 2 = 4a2 y el cilindro x2 + y 2 = 2ax :
c) La porción del cono x2 + y 2 = 3z 2 ; situada en el plano XY y el
cilindro x2 + y 2 = 4y :
d) La porción del paraboloide z = x2 + y 2 situada por debajo del plano z = 1 :

2

Integrales Triples.1. Evaluar las siguientes integrales:
a)
b)
c)

d)

Z

Z
Z

Z

1
0
1
0
1

Z
Z
1

4
0

Z

p

y

y2
x
0Z

Z

Z

y+z

xy dx dz dy
0

x y

x dz dy dx
0

1 y2

Z

0
p
16 x2
0

p

x

p

p
2y 2 x dz dx dy
x

Z p16

x2 y 2

(x + y + z) dz dy dx

0

3

e)

ZZZ

x dV ; Q: región sólida limitada por: z = 0 ; y = 0 ; y = x ; x + y = 2 ; x + y + z = 3 :

Q

f)

ZZZ

z 2 dV ; Q: región sólida limitada por: z = 0 ; x2 + z = 1 ; y 2 + z = 1 :

Q

g)ZZZ

z dV ; Q: región sólida limitada por: x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ;

z
x y
+ + = 1; a > 0;b >
a
b
c

Q

0;c > 0
ZZZ
h)
x (3 + z) dV ; Q: región sólida limitada por: x2 + z 2 = 9 ; y + z = 3 ; y = 0:
Q

2. Usando integrales triples, calcular el volumen de la región sólida Q limitada por las super…cies:
a) x2 + y 2 = 25 ; x + y + z = 8 ; plano XY
b) 4x2 + 9y 2

36z 2 = 0 ; z= 1

c) 3x2 + y 2 = z ; y bajo el cilindro x2 + z = 4
d) x2 + z 2 = 16 ; x + y = 2 ; y los tres planos coordenados.

3

Integracion usando cambio de variables.1. Use el cambio de variables indicados para calcular las siguientes integrales dobles:
ZZ
1
1
a)
48xy dxdy ; x = (u + v) y = (u v)
2
2
D

D :región limitada por el cuadrado de vértices (2; 0) ; (1; 1) ; (0; 0) ; (1; 1)...