Holf

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa
Departamento de Matem´tica a

Gu´ N◦ 6 MAT023 ıa An´lisis de Fourier a
Segundo semestre 2012 1. Encontrar el per´ ıodo de la funci´n f (x) = cos x + cos x . Qu´ condici´n deben satisfacer los n´meros ω1 y ω2 o e o u 3 4 de modo que la funci´n f (x) = cos ω1 x + cos ω2 x sea peri´dica. o o 2. Considere los polinomios de Tschebyscheff Tn (x) = cos(narccos(x)), n = 0, 1, 2, 3, . . .. (a) Determine expl´ ıcitamente, como polinomio de la variable x, los siguientes polinomios de Tschebyscheff: T0 (x), T1 (x), T2 (x) (b) ¿Es ortogonal el sistema de funciones Tn (x), n = 0, 1, 2, 3, . . .. con respecto al producto escalar
1

f, g =
−1

f (x)g(x) √ dx 1 − x2

donde f y g son funciones continuas por tramos definidas en el intervalo [−1, 1]? (c)Determine el desarrollo Fourier-Tschebyscheffde la funci´n f (x) = arccos x, −1 ≤ x ≤ 1. o (d) Calcule el error cuadr´tico m´ a ınimo al aproximar f (x) = arccos x mediante una serie finita de FourierTschebyscheffde de 5 t´rminos que sean diferentes de cero en el intervalo [−1, 1]. e 3. Aproximar la funci´n f (x) = x en el intervalo ] − π, π[ mediante una serie finita de Fourier trigonom´trica de o e5 t´rminos que sean diferentes de cero. Calcular tambi´n el error cuadr´tico medio en la aproximaci´n. e e a o 4. Desarrollar f (x) = 2 − x, si 0 < x < 4 x − 6, si 4 < x < 8 x, si 0 < x < 4 8 − x, si 4 < x < 8 en serie de Fourier de per´ ıodo 8.

5. Desarrollar f (x) =

en serie de Fourier (a) seno (b) coseno.

6. Dada la funci´n f (x) = x(π − x), 0 ≤ x ≤ o (a) Desarrollar f (x) en serie deFourier seno. (b) Desarrollar f (x) en serie de Fourier coseno. (c) Use los resultados anteriores y la identidad de Parseval para calcular i. ii.
∞ n=1 ∞ n=1 1 n4 1 n6

7. Demuestre que si p < 1/2, no existe una funci´n de cuadrado integrable 2π− peri´dica continua por tramos o o cuya serie de Fourier sea ∞ sen nx np n=1 8. Desarrollar f (x) = cos ωx en serie de Fourier donde ω es un n´meroreal. u 9. Desarrollar f (x) = x2 en serie de Fourier (a) seno (b) coseno. 10. Sean f (x) y g(x) dos funciones peri´dicas tal que o f (x) = A, si |x| < π/3 0, si π/3 < |x| < π y g(x) = A, si |x| < 2π/3 0, si 2π/3 < |x| < π

Grafique tres per´ ıodos de cada una de ellas. Obtenga la serie de Fourier correspondiente a cada una.

Coordinaci´n MAT023 o

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11. Si f (x) =

a0 + (an cos(nπx) + bn sen(nπx)). 2 n=1
1 2

∞

(a) Determine el per´ ıodo de f (x). (b) si f (x) = −f (−x) = f coeficientes bn ? 12. Pruebe o refute la relaci´n o (a) x = π −
3π 2 ∞

− x . Para qu´ ´ e ındice n los coeficientes an son nulos. ¿Qu´ valor tienen los e

sen nx , n n=1
∞ 4 π

π < x < 2π

(b) x =

+

cos(2n − 3)x, (2n − 3)2 n=1

π < x < 2π

13. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones (a) El valor de la serie de Fourier coseno de f (x) = |2x − 1| cot(2x − 1), 0 < x < 3 en x = 1/2 es 1. (b) La serie de Fourier seno de f (x) = x −
1 2 2

se anula siete veces en el intervalo [0, 3π]

(c) La funci´n f (x) = m´x{cos 3x, cos x} es peri´dica de periodo 2π o a o (d) La serie de Fouriercoseno de f (x) = x −
n=∞ π 3 2

, 0 < x < 3π/2 se anula dos veces en el intervalo [0, 4π]

14. Sea f (x) =
n=∞

cn ei

nπx p

. si g(x) = f (x − p).¿Qu´ relaci´n existe entre los coeficientes de Fourier de f (x) y e o

g(x)? 15. Considere la funci´n 2p−peri´dica definida por f (x)x3 − p2 x, −p < x < p o o (a) Encuentre la serie trigonom´trica de Fourier de f (x). e (b) Encontrar laserie de Fourier de g(x) = (x2 − p2 )2 , −p < x < p, g(s) = g(x + 2p) (c) Demuestre o refute: π4 1 = , 96 n=1 (2n − 1)4
∞

1 π6 = 6 n 128 n=1

∞

16. Determine los coeficientes de la serie de Fourier de la funci´n para −π < x < π: o (a) cos2 x (b) cos3 x (c) sen2 x (d) sen3 x

17. (a) Pruebe que si α es un n´mero no entero, entonces u cos(αx) = 2α sen(πα) π 1 cos(nx) + (−1)n 2 2α2 n=1 α −...