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´ Universidad Andres Bello Facultad de Ingenier´ ıa ´ y Construccion Civil ´ Departamento de Matematicas

´ Algebra (FMM013) SOLEMNE 1
Septiembre 16, 2005. Duraci´n: 90 minutos. o Problema 1 : a)(0,8 puntos) Verificar sin tabla de verdad, que la siguiente proposici´n es una o tautolog´ ıa: [(p ⇒ q ) ∧ (¯ ∨ q) ∧ r] ⇒ p ¯ r ¯ Soluci´n 1: o [(p ⇒ q ) ∧ (¯ ∨ q) ∧ r] ⇒ p ¯ r ¯ [(¯ ∨ q ) ∧ (¯ ∨ q) ∧r] ⇒ p p ¯ r ¯ [(¯ ∨ q ) ∧ ((¯ ∧ r) ∨ (q ∧ r))] ⇒ p p ¯ r ¯ [(¯ ∨ q ) ∧ (F ∨ (q ∧ r))] ⇒ p p ¯ ¯ [(¯ ∨ q ) ∧ (q ∧ r)] ⇒ p p ¯ ¯ [((¯ ∨ q ) ∧ q) ∧ r] ⇒ p p ¯ ¯ [((¯ ∧ q) ∨ (¯ ∧ q)) ∧ r] ⇒ p p q ¯ [((¯∧ q) ∨ F) ∧ r] ⇒ p p ¯ [¯ ∧ q ∧ r] ⇒ p p ¯ p∨q∨r∨p ¯ ¯ ¯ (p ∨ p) ∨ r ∨ q ¯ ¯ ¯ V∨r∨q ¯ ¯ V

Soluci´n 2: Chequeamos el unico caso en el cual la proposici´n puede ser falsa: o ´ o [(p ⇒ q ) ∧ (¯ ∨ q)∧ r] ≡ V por lo tanto ¯ r (a) (p ⇒ q ) ≡ V ¯ (b) (¯ ∨ q) ≡ V r (c) r ≡ V De (c) obtenemos r ≡ F y por (b) debe ser q ≡ V . A continuaci´n deducimos ¯ o a partir de (a) que p ≡ F . Por lo tanto ellado derecho (¯) de la tautolog´ que p ıa queremos probar es tambi´n verdadero. e b) (0,7 puntos) Invente un ejemplo, con proposiciones p y q, para el cual la siguiente proposici´n es FALSA: o (∃x :p(x)) ∧ (∃x : q(x)) ⇒ [∃x : (p(x) ∧ q(x))]

Soluci´n: Considere el conjunto A = {0, 1, 2} y las proposiciones p(x) = {x2 = x}, o q(x) = {x2 > x}. En el conjunto A la proposici´n dada es falsa. oProblema 2 : (1,5 puntos) Pruebe la siguiente proposici´n usando el contrarec´ o ıproco: ∀n ∈ N : n2 m´ltiplo de 3 ⇒ n m´ltiplo de 3. u u Sugerencia: Un n´mero n ∈ N que no es m´ltiplo de 3 es de la forma n= 3k + 1 o de u u la forma n = 3k + 2 para alg´n k ∈ Z. u Soluci´n: Usando el contrarec´ o ıproco, debemos probar que: n no es m´ltiplo de 3 ⇒ n2 no es m´ltiplo de 3 u u Dem: Tenemos dos casosposibles para n: Si n = 3k + 1 ⇒ n2 = (3k + 1)2 = 9k 2 + 6k + 1 = 3(3k 2 + 2k) + 1 Si n = 3k + 2 ⇒ n2 = (3k + 2)2 = 9k 2 + 12k + 4 = 3(3k 2 + 4k + 1) + 1 Por lo tanto, n2 no es m´ltiplo de 3. u Problema 3...