Holi

SUPERFICIES:
Se llama superficie al conjunto de puntos del espacio, y solamente de aquellos puntos del
espacio R3, cuyas coordenadas verifican una ecuación de la forma: F(x ; y ;z ) = 0
Por ejemplo: la ecuación: y – sen x = 0 representa el conjunto de puntos: P(x , sen x , z )
para x, z números reales cualesquiera. La representación gráfica de esta superficie es la
que se muestra acontinuación:

2
1
0z
-1
-2
2

0
5

1
x

0
-1
-2

10

y

Ecuación general de segundo grado en tres variables:
Una ecuación de la forma:
a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + a14 x + a24 y + a34 z + a44 = 0 (I)
en donde por lo menos uno de los seis coeficientes: a11 ,a22 ,a33 ,a12 ,a13 ,a23 es diferente de
cero se denomina: superficie cuádrica o simplemente:cuádrica.
Las cuádricas, al igual que las cónicas, pueden ser verdaderas ó degeneradas o reducibles.
a11 a12 a13 a14
a
a22 a23 a24
El determinante: A = 12
asociado a la ecuación (I) decide si la ecuación
a13 a23 a33 a34
a14 a24 a34 a44
representa una cuádrica verdadera o una cuádrica degenerada: si A ≠ 0 es verdadera, si
A = 0 es degenerada o reducible.

Se demuestra que mediantetransformaciones apropiadas de coordenadas: traslación y/o
rotación, la ecuación (I) puede transformarse de manera que tome una de las dos formas
tipo1:
M x2 + N y 2 + P z 2 = R
(II)
M x2 + N y 2 = S z
(III)
Siendo una cuádrica verdadera, una superficie cuya ecuación es o puede llevarse al tipo (II)
es una superficie con centro de simetría, el centro de simetría de la superficie es al origen decoordenadas y por esto se las llama: cuádricas con centro.

1

Otras equivalentes a la ecuaciones del tipo (III) son: M y + N z = S x
2

2

ó M x + N z = S y.
2

2

1

Son cuádricas con centro: Elipsoide (caso particular, la esfera), Hiperboloide de una hoja,
Hiperboloide de dos hojas.
Siendo una cuádrica verdadera, una superficie cuya ecuación es o puede llevarse al tipo(III)
no tiene centro de simetría y se llaman por lo tanto: cuádricas sin centro.
Son cuádricas sin centro: Paraboloide circular o elíptico, Paraboloide hiperbólico
Existen también ecuaciones de las formas (I), (II) o (III) que aparentan ser una superficie y
en realidad se reducen a ser un par de planos (paralelos, incidentes o coincidentes), un punto
del espacio o bien ningún lugar geométrico.Estos casos “aparentes” se denominan: cuádricas
degeneradas o reducibles.
Por ejemplo: La ecuación: 4 x 2 − 64 = 0 responde a la estructura (I), sin embargo, no es una
cuádrica verdadera, sino un caso de cuádrica degenerada, pues equivale a dos planos
paralelos. Esto es:
⎧ pl1 : x − 4 = 0
4 x 2 − 64 = 0 → ( 2 x − 8 ) .( 2 x + 8 ) = 0 → ⎨
⎩ pl2 : x + 4 = 0

ESFERA:

Se llama esfera allugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo,
llamado centro: P(x 0 ; y 0 ; z 0 ) una distancia constante llamada radio: R ( R > 0)

( x − x0 )

2

+

( y − y0 )

2

+ ( z − z0 ) = R 2
2

Por ejemplo: Esfera → x 2 + y 2 + z 2 = 4 con centro en el origen de coordenadas O(0;0;0) y
radio 2
Cuyo gráfico se muestra a continuación:
2
1

2

0

1

-10
-1

-2
2

-2
2

1
1

0
0

-1
-1

-2

-2

-2
-2

-2
-2

-1

-1

0

0

1

1
2

2

2

Por ejemplo:

La ecuación

( x − 4 )2 + ( y + 3)2 + z 2 = 0 , parece ser una esfera pero en realidad no lo es. Es

un caso de cuádrica degenerada, pues R = 0. Esta ecuación es en realidad un punto de
coordenadas: (4;–3;0)
La ecuación

( x − 4 )2 + ( y +3)2 + z 2 = −4 , parece ser una esfera pero en realidad no lo es. Es

un caso de cuádrica degenerada, pues R < 0. Esta ecuación no es ningún lugar geométrico, ya
que es absurdo que una suma de cuadrados de un número negativo.

Por ejemplo:
Sean los puntos A(3;4;5) y B(–3; 0; –3) los extremos de un diámetro de una
esfera. Halle una ecuación de dicha esfera.
Respuesta:
Para dar la ecuación...