Homotesia

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Definición
Esquema de operación de una homotecia, en el plano euclídeo.
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo . Sea X un elemento (visto comoun punto) de E. La homotecía de centro C y de razón k, denotada  envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:
(1a)
La ecuación anterior puede escribirse también comouna transformación afín de la forma:
(1b)
La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

Donde: ,  y .
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, una homotecia de centro el punto C y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que(el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k). Si k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen C que pasa por P.
[editar]Propiedades
La homotecia es unatransformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:
1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en lafigura
2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de[A';C']
3. La imagen de una línea es otra línea paralela a la original.
4. el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).
5.Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
6. k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.
7. Si k ≠0,  admite como trasformación recíproca  (cuando k = 0, no es biyectiva).
8. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de...