idempotencia

Idempotencia
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En matemática y lógica, la idempotencia es la propiedad para realizar una acción
determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultadoque se obtendría
si se realizase una sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es un
elemento idempotente, o un idempotente. De esta manera, si un elemento al
multiplicarse por sí mismosucesivas veces da él mismo, este elemento es
idempotente. Por ejemplo, los dos únicos números reales que son idempotentes,
para la operación producto (·), son 0 y 1. (0·0=0,1·1=1).
Índice
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1 Definición
2 Idempotencia en funciones
3 Idempotencia en anillos
4 Véase también
5 Enlaces externos

Definición
Formalmente, si es un magma, es decir, un conjunto con una operación binaria, entonces un elemento
se dice idempotente si
. Si todo fuese
idempotente bajo , entonces la operación en sí se denominaría operación
idempotente. En particular, cualquier elemento identidad esun idempotente bajo *.
En álgebra conjuntista, las operaciones de unión e intersección de conjuntos son
idempotentes. En efecto, la unión o intersección de un conjunto consigo mismo,
entregan comoresultado el conjunto mismo.
Análogamente, en álgebra booleana, los operadores Y (and,
idempotentes. En efecto, si V=Verdadero, F=Falso:
Análogamente para F.

) y O (or,

) son
.

En álgebralineal, la proyección es idempotente. Es decir, cualquier matriz que
proyecta todos los vectores sobre un subespacio V (no necesariamente
ortogonalmente) es idempotente, si V mismo está fijo puntopor punto.
Idempotencia en funciones
Una función
de un conjunto
a sí mismo se llama idempotente si
se cumple que para la composición de funciones:
, es decir,

.

Esto es equivalente adecir que:

Ejemplos triviales de funciones idempotentes en S son la función identidad y las
funciones constantes. Ejemplos menos triviales son el valor absoluto y la función
que asigna a cada...