Identidad de Euler

Identidad de Euler.
Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de lasmatemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma:

donde:
π (número pi) es un número irracional y trascendente que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro y está presente envarias de las ecuaciones más fundamentales de la física. 
e (número de Euler) es la suma de la serie , que aparece en numerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos y estambién un número irracional y trascendente.
i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, a partir del cual se construye el conjunto de los números complejos.
0 y 1 son los elementosneutros respectivamente de la adición y la multiplicación
Esta identidad se puede emplear para calcular π:




Explicación.
La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que:

paracualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

entonces

y ya que

y que

se sigue que

Lo cual implica laidentidad


Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

en el desarrollo polinómico de e a la potencia x:

para obtener:simplificando (usando i2 = -1):

Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias:

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implicaLogaritmos de números negativos.
Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremoscalcular, por ejemplo,  podemos proceder de la siguiente manera:

Sabiendo que :



Bibliografía
Weisstein, E. W. (15 de Mayo de 2009). Identidad de Euler. Recuperado el 27 de Julio de 2015, de...