III Contar Guia

Instituto Alonso de Ercilla
Hnos. Maristas
Prof. Patricio Santibáñez

Matemática - III°Medio

Guía: Contar

1. En una competencia de fútbol competirán 64 equipos, los cuales se eliminan por eliminación
directa. ¿Cuántas partidos se jugarán, en total, hasta obtener al ganador?
Solución:
Dado que se eliminan de forma directa, luego de cada partido hay un eliminado. Por tanto,
como debe haber soloun ganador, habrán 63 eliminados. Luego, se deben jugar 63 partidos.
◭⋆◮
2. En una pequeña comunidad viven 10 mujeres y cada una tiene 3 hijos. Si una mujer y uno de
sus hijos deben ser seleccionados para enviarlos con todos los gastos pagados a unas vacaciones
soñadas, ¿cuántas elecciones diferentes se pueden hacer?
Solución:
Como cada madre tiene 3 hijos y hay 10 madres, en total hay 10 × 3 = 30duplas que podrían
ganar el premio.
◭⋆◮
3. De un comité científico que está compuesto de 3 matemáticos, 4 físicos, 5 biólogos y 2 químicos,
se debe escoger un subcomité de 4 personas que consiste de una persona de cada especialidad.
¿Cuántos subcomités pueden ser escogidos?
Solución:
Como se debe seleccionar una persona de cada especialidad y, a priori, no hay intersección entre
ellos, es posiblesocupar el principio multiplicativo. De forma que hay 3 × 4 × 5 × 2 comités.
◭⋆◮
4. Si en Chile se decidiera que las nuevas patentes de autos deben tener 3 letras y 4 números, en
ese orden. ¿Cuántas patentes de autos existirían? Y si, se prohíbe que en una misma patente
hayan dos números o letras iguales. ¿cuántas patentes existirían?
Solución:
Considerando el abecedario en español con 27 letras,con las primeras condiciones se tienen
273 × 104 patentes; mientras que, con las segundas, se tienen 27 × 26 × 25 × 10 × 9 × 8 × 7
patentes.
◭⋆◮
5. Cada ficha de dominó tiene dos números del 0 al 9.
a) ¿Cuántas fichas tiene el dominó? ¿Por qué?

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b) Si ahora cada ficha puede tener números del 0 al 99, ¿cuántas fichas tendría el dominó?

Solución:
a) Hagamos uncaso más sencillo. Notemos que con los números de 0 a 6, en un dominó
normal, como tiene dos números del 0 al 6 que se pueden repetir tenemos 7 × 7 fichas.
En el caso normal de un dominó, las fichas 2-1 y 1-2 son iguales. En cuyo caso, se deben
contar una a una. Para ello, podemos hacer una tabla:

0
1
2
3
4
5
6

0
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(0,3)
(0,4)
(0,5)
(0,6)

1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)

2(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)

3
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)

4
(4,4)
(4,5)
(4,6)

5
(5,5)
(5,6)

6
(6,6)

Si contamos por columnas, tenemos 7,6,5,4,3,2,1 elementos. Al sumar estas cantidades lo
que hacemos es sumar de 1 a 7, por tanto desde 1 al número de elementos que teníamos
para hacer las fichas.
Así, en el caso de los números del 0 al 9, tenemos 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =
102 − 10
+10 = 55
2
b) Como tiene dos números del 0 al 99 y se pueden repetir tiene 100 × 100 fichas.
Si consideramos las reglas del dominó, debemos volver a sumar solo de 1 a 100 (la cantidad
de elementos para hacer las fichas).
◭⋆◮
6. Si hay 500 ampolletas enumeradas del 1 al 500 y todas son independientes unas de otras, ¿de
cuántas formas pueden estar las 500 ampolletas, si cada una puede estar encendidao apagada?
Solución:
Como una ampolleta puede estar encendida o apagada, hay dos formas en las que puede estar
cada una. Así, hay 2500 configuraciones en las que pueden estar las ampolletas.
◭⋆◮
7. En una carrera de 100 metros planos compiten 6 hombres y 4 mujeres, numerados del 1 al 10.
Asuma que no hay dos que lleguen al mismo tiempo a la meta.
a) ¿Cuántas tablas de posiciones pueden existir?b) Si hombres y mujeres compiten por separado, ¿cuántas tablas de posiciones pueden existir?

2

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Prof. Patricio Santibáñez

Solución:
a) Como compiten 10 personas, existen 10! tablas de posiciones.
b) Entre los 6 hombres pueden hacer 6! tablas de posiciones. Mientras que las mujeres, pueden hacer 4! tablas de posiciones. Por lo que en resumidas cuentas, pueden haber 6! × 4!
tablas de...