incecuaiocnes







APUNTES

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ESIME ZACANTENCO

Inecuaciones

Francisco Muñoz Apreza


Modulo I .- Inecuaciones

I.- Números reales

1.1.- El campo de los números reales 8
1.1.1.- Axioma de cerradura 8
1.1.2.- Axioma de asociatividad 8
1.1.3.- Axioma de conmutatividad 9
1.1.4.- Axioma del idéntico 9
1.1.5.- Axiomadel inverso 10
1.1.6.- Axioma de distributividad 10
1.2 .- Axioma de orden 11
1.3.- Definición de número negativo 11
1.4.- Definición de “ menor qué” 11
1.5.- Desigualdades 12
1.5.1.- Un poco de historia 12
1.5.2.- La forma de representar una desigualdad 12
1.5.3.- Definición de “mayor qué” 13
1.5.4.- Propiedades de las desigualdades 131.5.5.- Definición de intervalo abierto 14
1.5.6.- Definición de intervalo cerrado 14
1.5.7.- Definición 14
1.5.8.- Ejemplos 14
1.5.9.- Definición de valor absoluto 19
1.5.9.1.- Teorema 19
1.5.9.2.- Ejemplo 20
1.5.9.3.- Teorema 23
1.5.9.4.- Desigualdades del plano 23
1.5.9.5.- Ejemplos 24
1.5.9.6.-Ejercicios propuestos 27




















I : El Campo de los Números Reales

1.1 .- El campo de los números reales puede ser descrito por un conjunto de axiomas con los cuales podemos conocer sus propiedades y operaciones de suma y multiplicación.
P/q q≠0

La recta real la representamos por:Propiedades de las operaciones suma (+ ) y multiplicación ( • )

Sean a y b dos números reales cualesquiera entonces, existe 1 y sólo 1 número real denotado a+b llamado suma y existe 1 y sólo 1 número real ab llamado producto.

1.1.1 .- Axioma de cerradura aditiva.

Si a, b, c, d son números reales cualesquiera entonces

a+b = c


Ejemplo

2+3 = 5Axioma de la cerradura multiplicativa

Si a, b, c, d son números reales cualesquiera entonces


ab = d

Ejemplos

4(5) = 20


1.1.2.- Axioma de asociatividad aditiva

Si a, b y c son números reales cualesquiera entonces:

a+(b+c) = (a+b)+c

Ejemplo

3+(4+5) = (3+4)+5

Axioma de asociatividad multiplicativa

Si a, b, c, dson números reales cualesquiera entonces

(ab)c = a(bc)


Ejemplo

[(3) (7)] 8 = 3[(7) (8)]




1.1.3.- Axioma de conmutatividad aditiva.

Si a y b son números reales cualesquiera entonces

a+b = b+a

Ejemplo

2+3 = 3+2

Axioma de conmutatividad multiplicativa

Si a, b, c, d son números reales cualesquiera entonces

ab = ba

Ejemplo

(5)4 = (4)51.1.4 Axioma del idéntico aditivo.

Si a es un número real cualesquiera y existe un número 0 llamado (cero) entonces

a + 0 = a

Ejemplo

3 + 0 = 3

Axioma del idéntico multiplicativo

Si a, es un número real cualesquiera y existe un número llamado 1 entonces

1 ( a ) = a


Ejemplo

(6)1 = 6

1.1.5.- Axioma del inverso aditivo.

Si a es un número realcualesquiera y existe un número llamado ( - a) entonces

a+(-a) = 0


Ejemplo

a + ( -a ) = 0

Axioma del inverso multiplicativo

Si a es un número real cualesquiera y existe un número llamado ( 1/a ) entonces

a ( 1/a ) = 1


Ejemplo

(6)1/6 = 1.


1.1.6.- Axioma de la distributividad.

Si existen números reales a, b y c tales que

(a + b) c = ac + bcEjemplo

(4+7)6 = (4)6 + 7(6)


1.2 .- Axioma de orden


Sea R un conjunto de números reales que satisface los tres axiomas de orden siguientes:
1.- Si a y b pertenecen a R positivo, entonces a + b y ab pertenecen a R.

2.- Para todo a ≠ 0 ó a pertenece a R positivo ó ( – a ) pertenece a R positivo pero no ambos.



Ejemplos

3+4=7 ( La suma de 2 números...