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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones y de inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS DE INECUACIONES
⎧ − x 2 + 5x − 4 ≥ 0
⎪
1. Resolver el sistema de inecuaciones ⎨
⎪3x 2 − 4 x + 8 < 3(x − 1)2
⎩
Solución

Secomienza resolviendo cada inecuación por separado y después se halla la intersección de los
conjuntos solución obtenidos.
Para resolver la primera inecuación se factoriza el polinomio − x 2 + 5x − 4 , para lo que se calculan
−5 ± 25 − 16 −5 ± 3 ⎧1
sus raíces, que son x =
=
=⎨
−2
−2
⎩4

Así, la inecuación se puede escribir de la forma −( x − 1)(x − 4) ≥ 0 , es decir, (x − 1)( x − 4) ≤ 0 .
Enla tabla siguiente se especifica el signo de cada uno de los factores que intervienen en la
inecuación en los intervalos determinados las raíces del polinomio.
Signo
x-1
x-4
(x − 1)( x − 4)

(-∞, 1)
+

(1, 4)
+
-

(4, +∞)
+
+
+

Observar que los extremos de los intervalos, 1 y 4, son solución de la inecuación. Por tanto, la
solución de la primera inecuación es S1 = [1, 4].Para resolver la inecuación 3x 2 − 4 x + 8 < 3(x − 1)2 se realizan las siguientes operaciones:
3x 2 − 4 x + 8 < 3(x − 1)2 ⇔ 3x 2 − 4 x + 8 < 3x 2 − 6 x + 3

⇔ 2 x < −5 ⇔ x < −

5
2

5⎞
⎛
Así, la solución de la segunda inecuación es S2 = ⎜ -∞ , - ⎟ .
2⎠
⎝
5⎞
⎛
Por lo tanto, la solución del sistema de inecuaciones es S = S1 ∩ S2 = [1, 4] ∩ ⎜ -∞ , - ⎟ = ∅, es
2⎠
⎝

decir no tienesolución.

⎧ x 2 − 3x + 2
≥0
⎪
⎪
x−4
2. Resolver el sistema de inecuaciones ⎨
⎪x +1 < 0
⎪x − 5
⎩

Solución

En primer lugar comenzaremos resolviendo cada inecuación por separado y después hallaremos la
intersección de los conjuntos solución obtenidos.

© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidaddidáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones y de inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

x 2 − 3x + 2
≥ 0 se factoriza el polinomio x 2 − 3x + 2 , para lo que se
x−4
3 ± 9 − 8 3 ± 1 ⎧1
calculan sus raíces, que son x =
=
=⎨
2
2
⎩2

Para resolver la inecuación

Así, la inecuación se puede escribir de la forma

(x − 1)(x − 2)
≥ 0.x−4

En la tabla siguiente se especifica el signo de cada uno de los factores que intervienen en la
ecuación en los intervalos determinados por sus raíces.
Signo
x-1
x-2
x-4
(x − 1)(x − 2)
x−4

(-∞, 1)
-

(1, 2)
+
-

(2, 4)
+
+
-

(4, +∞)
+
+
+

-

+

-

+

Observar que los extremos de los intervalos, 1 y 2, son solución de la inecuación, pero no lo es 4 ya
queanula el denominador.
Por tanto, la solución de la primera inecuación es S1 = [1, 2] ∪ (4,

x +1
0
⎪
2
⎪(x − 1)
⎩

Solución
2

Comenzaremos resolviendo la primera inecuación 23 x ≤ 4.2 x , para lo cual escribiremos 4 = 22 y
realizaremos las siguientes operaciones propias de la función exponencial
23 x ≤ 4.2 x

2

⇔

23 x ≤ 22.2 x

2

⇔

2
23 x ≤ 2 x + 2 ⇔

© Proyectode innovación ARAGÓN TRES

3x ≤ x 2 + 2

⇔

0 ≤ x 2 − 3x + 2
2

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones y de inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

La inecuación 0 ≤ x 2 − 3x + 2 se puede escribir, factorizando el
0 ≤ ( x − 1)( x − 2) cuyasolución se obtiene a partir de la siguiente tabla:
Signo
x-1
x-2
(x − 1)(x − 2)

(-∞, 1)
+

(1, 2)
+
-

polinomio,

de

la

forma

(2, +∞)
+
+
+

Observar que los extremos de los intervalos son solución de la inecuación, por ser la desigualdad no
estricta. Por tanto, el conjunto de soluciones es S1 = (-∞, 1] ∪ [2, +∞).
Para resolver la segunda inecuación
(2 − x )(2 +...