ING.PETROLERO

´
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FUNCIONES

1. Funciones
Una funci´n consta de dos conjuntos, llamados dominio y contradominio, y de una regla de correso
pondencia que permite asociarle a cada elemento del dominio un unico elemento del contradominio.
´
Se llama variable independiente a una letra cualquiera, por ejemplo x, que representa a cualquiera
de los elementos del dominio.
Sidenotamos a la regla de correspondencia de la funci´n con una letra, por ejemplo f , denotaremos
o
al dominio como Df , al rango como Rf y al elemento del contradominio que le asociamos a x como
f (x) ( se lee f de x) y a esta variable f (x) ´ y la llamaremos variable dependiente
o
Llamamos rango de una funci´n al subconjunto del contradominio de la funci´n constituido por los
o
o
elementosque han sido asociados a alg´n elemento del dominio bajo la regla de correspondencia
u
dada.
Si el contradominio es un subconjunto de los n´meros reales diremos que la funci´n es real.
u
o
Si el dominio es un subconjunto de los n´meros reales diremos que la funci´n es de variable real.
u
o
Para las funciones reales de variable real definidas mediante una f´rmula sin m´s especificaciones,
oa
sobreentenderemos que el dominio es el subconjunto de los n´meros reales para los cuales la f´rmula
u
o
tiene sentido.
´
2. Algebra de funciones
Para la funciones reales, el ´lgebra de los n´meros reales induce un ´lgebra entre las funciones:
a
u
a
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f − g)(x) = f (x) − g(x)
(f · g)(x) = f (x) · g(x)
f
g

(x) =

f (x)
g(x)

Df

Dg

El dominiode todas esta funciones es
Con excepci´n del cociente en el que a Df
o
x ∈ Dg tales que g(x) = 0.

Dg hay que quitarle las ra´
ıces o ceros de g, i.e., los

´
3. Composicion de funciones
Podemos definir una nueva funci´n, la composici´n de g seguida de f , denotada por f ◦ g, que tiene
o
o
como dominio un subconjunto Df ◦g del dominio de g y como contradominio el de f y que a cualquierelemento x ∈ Df ◦g le hace corresponder f [g(x)]
canek.azc.uam.mx: 29/ 10/ 2003.
1

2

FUNCIONES

As´
ı:
def

(f ◦ g)(x) = f [g(x)]
En general tenemos:
Df ◦g = x ∈ Dg g(x) ∈ Df

´
´
4. Grafica de una funcion real de variable real

def

Gf =

(x, y) ∈ R 2 x ∈ Df & y = f (x)

Una condici´n necesaria y suficiente para que una curva plana sea la gr´fica de una funci´n es queo
a
o
cualquier recta vertical corte a la curva en a lo m´s un punto.
a
Esto es, la recta vertical x = a debe cortar a la curva en un punto si a ∈ Df . En caso contrario, si
a ∈ Df entonces la recta vertical x = a no corta a la curva.
As´ una curva de esta forma:
ı

No puede ser la gr´fica de funci´n alguna, pues hay ciertas rectas verticales que la cortan en tres
a
o
puntos.Recordemos que la proyecci´n ortogonal de un punto sobre un eje es el punto donde la perpendicular
o
al eje que pasa por el punto corta al eje.

FUNCIONES

3

A∗ es la proyecci´n ortogonal de A sobre el eje x.
o
Dada la gr´fica de una funci´n f (x), la proyecci´n ortogonal de todos sus puntos sobre el eje x es
a
o
o
o
o
el dominio Df de la funci´n y su proyecci´n ortogonal sobre el eje yes su rango Rf .
a
Adem´s dado un punto a ∈ Df , la ordenada del punto donde la recta x = a corta a la gr´fica de la
a
funci´n f (x) es f (a).
o

Df = A∗ D ∗

E ∗ C ∗∗ ; Rf = B ∗ C ∗

De manera que dada la gr´fica de una funci´n la conocemos completamente, pues podemos detera
o
minar su dominio y su rango y dado a ∈ Df podemos hallar f (a).

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FUNCIONES

´
5. Funcion definidapor partes
A veces la regla de correspondencia de la funci´n no es unica, esto es, el dominio de la funci´n
o
´
o
est´ descompuesto en partes ajenas por pares y en cada una de ellas est´ definida una regla de
a
a
correspondencia diferente.
Ejemplo.f (x) = | x | =
Df = R, Rf = R+

x
si x ≥ 0
−x si x < 0

{0}, los reales no negativos.

Ejemplo.La funci´n de Heaviside (1850-1925):...