Ingenieria en Sistemas

Introducción a los números complejos  
Un Numero Complejo es una expresión del tipo z = a + bi

Donde a y b son números reales e i es un símbolo, cuyo sindicado seria aclarado más Adelante.

Este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación no tiene raíces reales.

Que significado sele puede dar a una raíz cuadrada de un numero negativo? >

Porque no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuación no tiene
Solución? La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas Cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear sistema Numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro Deeste contexto se acepta el símbolo Como una entidad matemática nueva.

Veamos a continuación como se construyen estos nuevos números. Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por i, el Cual sería llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición Una vez hecho esto construimos un conjunto C llamado Números Complejos Cuyos elementos son combinaciones de la forma Dondea y b son números reales.

Vemos entonces que todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.
Así pues, tenemos Re(z) = a e Im(Z) = b

Mapeo complejo
Los Números Complejos constituyen una herramienta matemática muy poderosa
para interpretar los movimientos en el plano. En este capítulo estudiaremos losmovimientos regidos del plano, es decir, aquellos que preservan las distancias entre los puntos. Básicamente, daremos respuesta a las dos interrogantes ¿Porque es importante estudiar los movimientos del plano?  Que relación existe entre la geométricade las  geometrías estáticas del plano, y el movimiento? En primer lugar, en la Geometría






transformaciones o mapeos
Para representar lafunción compleja geométricamente se requerían 4 dimensiones dos para la variable Independiente y dos para la dependiente (ya que un solo número complejo se representa en un plano). Como no se puede presentar un plano es 4 dimensiones sin crear una confusión fuerte se recurre a diversas técnicas de representación pero una sencilla y muy usada es representar la variable dependiente en un plano (plano w= f(z)) y la variable independiente en otro plano (plano z).


TRASLACION
La transformación de traslación tiene la forma general
w = f(z) = z + c donde z es la variable compleja y c es una constante compleja. Si substituimos que w = u + iv , z = x + iy y c = h + ik tendremos u + iv = x + iy + h + ik = x + h + i(y + k) lo que tiene una forma parecida a la traslación de ejes en geometríaanalítica y de hecho si observamos con atención notamos que lo que provoca esta transformación es solo mover los ejes h unidades en el eje real y
k unidades en el eje imaginario.
  













Ecuación paramétrica


Un ejemplo de una curva definida por ecuaciones paramétricas es lacurva mariposa.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas osuperficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de lavariable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo  para determinar la posición y la velocidad de unmóvil
En el uso estándar del sistema decoordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera  equivale a la expresión .
Esta...