ingeniria

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Cónicas, ecuaciones
paramétricas y
coordenadas polares
Durante los Juegos Olímpicos de Invierno de 2002 aparecieron iluminados, en lo alto de una montaña en Salt Lake City, los aros olímpicos.
Al instalar las luces de los aros se puso mucho cuidado en minimizar
el impacto ambiental. ¿Cómo puede calcularse el área comprendida
por los aros? Explicar.

Para representar gráficamente unaecuación en el sistema de coordenadas
polares, hay que trazar una curva en
torno a un punto fijo llamado polo.
Considérese una región limitada por
una curva y por los rayos que pasan
por los extremos de un intervalo de la
curva. Para aproximar el área de tales
regiones se usan sectores circulares.
En este capítulo, se verá cómo puede
emplearse el proceso de límite para
encontrar estaárea.
Harry Howe/Getty Images

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CAPÍTULO 10

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Sección 10.1

Cónicas y cálculo
• Entender la definición de una sección cónica.
• Analizar y dar las ecuaciones de parábola utilizando las propiedades de la
parábola.
• Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse.
• Analizar y dar lasecuaciones de la hipérbola utilizando las propiedades de la
hipérbola.

Secciones cónicas

Bettmann/Corbis

Toda sección cónica (o simplemente cónica) puede ser descrita como la intersección
de un plano y un cono de dos hojas. En la figura 10.1 se observa que en las cuatro
cónicas básicas el plano de intersección no pasa por el vértice del cono. Cuando el
plano pasa por el vértice, lafigura que resulta es una cónica degenerada, como se
muestra en la figura 10.2.

HYPATIA (370-415 A.C.)
Los griegos descubrieron las secciones cónicas
entre los años 600 y 300 a.C. A principios del
periodo Alejandrino ya se sabía lo suficiente
acerca de las cónicas como para que Apolonio
(269-190 a.C.) escribiera una obra de ocho
volúmenes sobre el tema. Más tarde, hacia
finales delperiodo Alejandrino, Hypatia
escribió un texto titulado Sobre las cónicas de
Apolonio. Su muerte marcó el final de los
grandes descubrimientos matemáticos en
Europa por varios siglos.
Los primeros griegos se interesaron
mucho por las propiedades geométricas de las
cónicas. No fue sino 1 900 años después, a
principios del siglo XVII, cuando se hicieron
evidentes las amplias posibilidades deaplicación de las cónicas, las cuales llegaron a
jugar un papel prominente en el desarrollo del
cálculo.

Circunferencia
Secciones cónicas

Parábola

Hipérbola

Elipse

Figura 10.1

Punto
Cónicas degeneradas

Recta

Dos rectas que se cortan

Figura 10.2

Existen varias formas de estudiar las cónicas. Se puede empezar, como lo hicieron
los griegos, definiendo las cónicas entérminos de la intersección de planos y conos, o se
pueden definir algebraicamente en términos de la ecuación general de segundo grado
Ax 2 ϩ Bxy ϩ Cy 2 ϩ Dx ϩ Ey ϩ F ϭ 0.
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para
conocer más sobre las actividades de
esta matemática, consultar al artículo
“Hypatia and her Mathematics” de
Michael A. B. Deakin en The American
Mathematical Monthly.

Ecuación general desegundo grado.

Sin embargo, un tercer método en el que cada una de las cónicas está definida como el
lugar geométrico (o colección) de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad
geométrica, funciona mejor. Por ejemplo, la circunferencia se define como el conjunto
de todos los puntos (x, y) que son equidistantes de un punto fijo (h, k). Esta definición
en términos del lugar geométricoconduce fácilmente a la ecuación estándar o canónica de la circunferencia

͑x Ϫ h͒ 2 ϩ ͑ y Ϫ k͒2 ϭ r 2.

Ecuación estándar o canónica de la circunferencia.

SECCIÓN 10.1

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Parábolas

Eje
Parábola
d2

Foco
p

Cónicas y cálculo

(x, y)

d1

Vértice

Una parábola es el conjunto de todos los puntos (x, y) equidistantes de una recta fija
llamada directriz y de un punto...