INTIGRALES_TAREA1
Páginas: 41 (10216 palabras)
Publicado: 8 de noviembre de 2015
CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas
8.2. Cálculo del área en coordenadas paramétricas
8.3. Cálculo del área en coordenadas polares
8.4. Cálculo del valor medio de una función
8.4.1. Interpretación geométrica
8.4.2. Valor medio de una función
8.5. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas cartesianas
8.5.1.Diferencial de un arco de curva
8.5.2. Comparación del arco y de su cuerda
8.6. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas paramétricas
8.7. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas polares
8.8. Cálculo del volumen de un cuerpo
8.9. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución
8.9.1. Método de discos
8.9.2. Método de las arandelas
8.9.3. Método de las envolventes cilíndricas(cortezas)
8.10. Cálculo del área lateral de un cuerpo de revolución
8.11. Cálculo del trabajo mediante la integral definida
8.12. Coordenadas del centro de gravedad
8.12.1. Centro de gravedad de una curva plana
8.12.2. Centro de gravedad de una figura plana
8.13. Cálculo de momentos de inercia mediante la integral definida
8.13.1. Momento de inercia de una curva material
8.13.2. Momento de inercia de unabarra homogénea de
longitud L respecto a su extremo
8.13.3. Momento de inercia de una circunferencia material
de radio r respecto al centro
8.13.4. Momento de inercia de un círculo homogéneo de
radio r respecto al centro
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Capítulo 8
Aplicaciones geométricas y
mecánicas de la integral
definida
b
⌠
⌡f(x) dx
a
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Capítulo 8
Aplicaciones geométricas y mecánicas
de la integral definida
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8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas
En esta sección vamos a tratar de calcular el área de figuras planas
limitadas por funciones continuas expresadas en coordenadas cartesianas a
travésdel cálculo de ciertas integrales definidas. Distinguiremos varios casos,
de menor a mayor complejidad, hasta llegar a la situación más general.
a) Si la función y = f(x) está definida y es continua en el intervalo [a,b],
verificando que f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a,b], entonces, como ya sabemos, el área del
trapecio curvilíneo limitado por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas
verticales x = a, x = b esigual a:
b
A=
∫ f ( x ) dx
a
b) Si la función y = f(x) está definida y es continua en el intervalo [a,b],
verificando que f(x) ≤ 0 ∀x ∈ [a,b], entonces el área del trapecio curvilíneo
limitado por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas verticales x = a, x = b es
igual a:
b
A = − ∫ f ( x ) dx
a
Notemos que en esta situación, debido a que f(x) es no positiva en el
intervalo de integración, elvalor del área es no negativo, por la propiedad de
monotonía de la integral.
c) Si y = f(x) está definida y es continua en el intervalo [a,b] y cambia de
signo un número finito de veces en el segmento [a,b], entonces podemos
descomponer la integral a lo largo del intervalo [a,b] en suma de integrales a lo
largo de tantos subintervalos como sea necesario para asegurar que en cada uno
de ellos lafunción permanece con signo constante. El valor de la integral
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Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral definida
143
definida será positiva en los subintervalos donde f(x) ≥ 0, y negativa en aquellos
donde f(x) ≤ 0. Así, el área del trapecio curvilíneo limitado por la curva y = f(x),
eleje OX y las rectas verticales x = a, x = b se calculará como suma de
integrales definidas de la forma vista en los casos anteriores a) o b), según el
signo constante que posea la función en cada subintervalo concreto. Esta
situación puede resumirse en la siguiente fórmula general, que engloba a los
casos anteriores como particulares:
b
A=
∫ f ( x ) dx
a
d) Si se desea calcular el área de la...
INTEGRAL DEFINIDA
8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas
8.2. Cálculo del área en coordenadas paramétricas
8.3. Cálculo del área en coordenadas polares
8.4. Cálculo del valor medio de una función
8.4.1. Interpretación geométrica
8.4.2. Valor medio de una función
8.5. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas cartesianas
8.5.1.Diferencial de un arco de curva
8.5.2. Comparación del arco y de su cuerda
8.6. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas paramétricas
8.7. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas polares
8.8. Cálculo del volumen de un cuerpo
8.9. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución
8.9.1. Método de discos
8.9.2. Método de las arandelas
8.9.3. Método de las envolventes cilíndricas(cortezas)
8.10. Cálculo del área lateral de un cuerpo de revolución
8.11. Cálculo del trabajo mediante la integral definida
8.12. Coordenadas del centro de gravedad
8.12.1. Centro de gravedad de una curva plana
8.12.2. Centro de gravedad de una figura plana
8.13. Cálculo de momentos de inercia mediante la integral definida
8.13.1. Momento de inercia de una curva material
8.13.2. Momento de inercia de unabarra homogénea de
longitud L respecto a su extremo
8.13.3. Momento de inercia de una circunferencia material
de radio r respecto al centro
8.13.4. Momento de inercia de un círculo homogéneo de
radio r respecto al centro
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Capítulo 8
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mecánicas de la integral
definida
b
⌠
⌡f(x) dx
a
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Capítulo 8
Aplicaciones geométricas y mecánicas
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8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas
En esta sección vamos a tratar de calcular el área de figuras planas
limitadas por funciones continuas expresadas en coordenadas cartesianas a
travésdel cálculo de ciertas integrales definidas. Distinguiremos varios casos,
de menor a mayor complejidad, hasta llegar a la situación más general.
a) Si la función y = f(x) está definida y es continua en el intervalo [a,b],
verificando que f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a,b], entonces, como ya sabemos, el área del
trapecio curvilíneo limitado por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas
verticales x = a, x = b esigual a:
b
A=
∫ f ( x ) dx
a
b) Si la función y = f(x) está definida y es continua en el intervalo [a,b],
verificando que f(x) ≤ 0 ∀x ∈ [a,b], entonces el área del trapecio curvilíneo
limitado por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas verticales x = a, x = b es
igual a:
b
A = − ∫ f ( x ) dx
a
Notemos que en esta situación, debido a que f(x) es no positiva en el
intervalo de integración, elvalor del área es no negativo, por la propiedad de
monotonía de la integral.
c) Si y = f(x) está definida y es continua en el intervalo [a,b] y cambia de
signo un número finito de veces en el segmento [a,b], entonces podemos
descomponer la integral a lo largo del intervalo [a,b] en suma de integrales a lo
largo de tantos subintervalos como sea necesario para asegurar que en cada uno
de ellos lafunción permanece con signo constante. El valor de la integral
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definida será positiva en los subintervalos donde f(x) ≥ 0, y negativa en aquellos
donde f(x) ≤ 0. Así, el área del trapecio curvilíneo limitado por la curva y = f(x),
eleje OX y las rectas verticales x = a, x = b se calculará como suma de
integrales definidas de la forma vista en los casos anteriores a) o b), según el
signo constante que posea la función en cada subintervalo concreto. Esta
situación puede resumirse en la siguiente fórmula general, que engloba a los
casos anteriores como particulares:
b
A=
∫ f ( x ) dx
a
d) Si se desea calcular el área de la...
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