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Función inversa
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino devuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.
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Definiciones formales
Sea f una función real inyectiva,cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función dedominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:
* y
* .
De hecho,estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
1. y2. ,
Entonces:
* Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
* Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, ydiremos que g es inversa por la derecha de f.
* Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.
Este último punto se usa con frecuencia como definición defunción inversa.
Notación alternativa
La notación tradicional f − 1 puede ser confusa. Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:
* como alternativa a .-------------------------------------------------
Propiedades algebraicas

Inversión del orden en la composición de funciones.
* La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por lafórmula

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar...