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TAREA “Demostrar los 6 teoremas en base a los axiomas”
TEOREMA 1.1
Sea Ǿ el evento vacío, entonces P(Ǿ) = 0
Demostración
Sea el espacio muestral S, por la ley de identidad S = SUǾ, como S yǾ son mutuamente excluyentes, en virtud del Axioma 3, se deduce que P(S) = P(SU Ǿ) = P(S) +(Ǿ), y restando la probabilidad de S en ambos lados de la igualdad, resulta que P(Ǿ) = 0
TEOREMA 1.2
Paracualquier evento E, P(E^) = 1-P(E)
Demostración
Sea el espacio muestral S, y E un evento en S. Por la ley del comportamiento, tenemos que S=EUEmˆ, y por el Axioma 2 se cumple: 1=P(S)=P(EUEˆ. Porotro lado, E y Eˆ son mutuamente excluyentes, de esta manera empleando el Axioma 3 tendremos:
1=P(S)=P(EUEˆ)=P(E)+P(Eˆ)
Y pasando P€. al otro lado de la igualdad, se tiene: P(Eˆ)=1-P(E)
TEOREMA 1.3Para cualquier evento E, 0<-P(E)<-1
Demostración
Sea S el espacio muestral y E un evento en S, del Axioma 1 tenemos que P(E)>-0 y P(Eˆ)>-0. Por el teorema 1-2, P(Eˆ)=1-P(E) de dondese deduce que P(E)=1-P(Eˆ)<-1. Por lo tanto 0<-P(E)<-1.
TEOREMA 1.4
Si A y B son eventos de un mismo espacio maestral, tales que A C B, entonces P(A) <-P(B)
Demostración
De lascondiciones del teorema tenemos que A C B, por lo tanto, B se puede representar como B=AU(B-A), en donde A y B – A, son mutuamente excluyentes. Del Axioma 3 tenemos que: P(B)=P(AU(B-A)) = P(A)+P(B-A) ydel Axioma 1 se tiene que P(B-A)>-0, por lo tanto se cumple:
P(B)=P(A)+P(B-A)>-P(A), de donde P(A)<-P(B)
TEOREMA 1.5
Para los eventos cualesquiera A y B de un mismo espacio muestra, secumple que:
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AΩB)
Demostración
Empleando las leyes de la algebra, tenemos que:
AUB=(AUB) ΩS ley de identidad
=(AUB) Ω(AUAˆ) ley del complemento
=(AU(BΩAˆ)ley distributiva
Además de A y B Ω Aˆ, son mutuamente excluyentes, de donde:
P(AUB)=P(AU(BUAˆ))=P(A)+P(BΩAˆ)
De una manera similar se obtiene que B=(AΩB)U(BΩAˆ)
Despejando P(BΩAˆ, resulta...