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N´meros, sucesiones y funciones
u
Antonio Garv´
ın

1.

Introducci´n
o

El c´lculo trata basicamente de los n´meros (y las funciones) reales.
a
u
En los objetivos a alcanzar en la asignatura, tenemos entre otros, manejar
los conceptos b´sicos de funciones reales de variable real, como continuidad
a
y derivabilidad. Tambi´n conocer y manejar los n´meros complejos. Los
e
uutilizaremos, por ejemplo, para calcular primitivas de funciones racionales.
Conocer y manejar los conceptos de integral y primitiva ser´ otro de nuesa
tros objetivos. As´ mismo introduciremos m´todos num´ricos elementales
ı
e
e
relacionados con los conceptos de integrabilidad, de continuidad y de diferencialbilidad. Conoceremos que son y como se manejan las series num´ricas
e
y funcionales, enespecial las series de Taylor, extensi´n natural del concepto
o
de polinomio de Taylor. Otro de nuestros objetivos ser´, adem´s de conocer
a
a
los conceptos b´sicos relacionados con las funciones de varias variables, ser
a
capaces de calcular extremos y extremos condicionadas de campos escalares.

2.

N´ meros
u

Queremos hablar de n´meros reales, pero para entenderlos bien, pareceu
muy conveniente empezar hablando de algunos conjuntos num´ricos m´s
e
a
elementales. Los conjuntos con los que vamos a trabajar son,
N, Z, Q, R y C.
Recordamos (o presentamos si alguien no los conoce) a N y Z. Hablamos
entre otras cosas de su representaci´n en la recta real. Recordamos la divisi´n
o
o
entera o euclidea, as´ como la descomposici´n en n´meros primos de los
ı
o
uenteros. Si uno quiere poder dividir siempre en forma exacta (aunque no
siempre entera) ha de considerar fracciones de enteros. As´ aparecen los
ı
racionales, Q, fracciones enteras que tambi´n podemos representar en la
e
recta. La representaci´n decimal peri´dica de los racionales por un lado y
o
o
1

el hecho de que existan longitudes no racionales en la recta por otro, nos
llevan aconsiderar todas las expresiones decimales, que completan la recta
y constituyen nuestro conjunto de partida, R, el conjunto de los n´meros
u
reales. M´s adelante hablaremos de los complejos. Hacemos notar que la
a
expresi´n decimal es unica, salvo que aparezcan infinitos 9. As´ por ejemplo
o
´
ı
0,9999... y 1,0000... son expresiones decimales del n´mero 1. La expresi´n
u
o
decimal, porejemplo, nos muestra como los n´meros reales son exactamente
u
l´
ımites de sucesiones de racionales. Dicho en otros t´rminos, los reales son
e
l´
ımites de cocientes de n´meros enteros.
u
Algunos n´meros reales, no racionales son,
u
√
2, π, e, 0 101001000100001 · · ·
√
Podemos definir 2 como el unico n´mero real positivo cuyo cuadrado es 2.
´
u
π es la raz´n constante entre lacircunferencia y su di´metro y el n´mero e
o
a
u
1
el l´
ımite de la sucesi´n (1 + n )n .
o
Durante el desarrollo de estas ideas hemos ido proponiendo algunas cuestiones como ejercicios. Algunas de estas cuestiones han sido contestadas o
resueltas (a veces en la misma sesi´n en que se han propuesto, a veces total o
o
parcialmente) y otras no, dejandolas para que sean resueltas o completadas
ensu caso. Estas son las cuestiones,√
¿Sabemos dar una definici´n de 2, de π y de e?
o
√
¿Porqu´ 2 ∈ Q?
e
/
Si hacemos la divisi´n de 1 entre 7, vamos obteniendo 0, 0,1, 0,14, ¿Poro
qu´ sabemos sin realizar ning´n c´lculo m´s que los n´meros que aparecen
e
u a
a
u
van a empezar a repetirse? En general, ¿porqu´ sabemos que la expresi´n
e
o
decimal de un n´mero racional es siempreperi´dica?
u
o
p+q
¿Qu´ distancias hay entre los puntos p, q y
e
?
2
√
¿C´mo es la expresi´n decimal de 2, de π y de e ?
o
o
¿Cual es la relaci´n que existe entre el ´rea del circulo y su di´metro?
o
a
a

3.

Sucesiones

Al hablar de los conjuntos num´ricos hemos hablado de sucesiones y de
e
l´
ımite de sucesiones, as´ pues es natural recordar que significan estos conı...