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Pero dicha regla no es válida en lógica no monotónica, pues una premisa puede derrotar una conclusión que era válida. Ejemplo:

“Si es obligatorio pagar impuestos, es obligatorio enviar la declaración de impuestos;”
“Es obligatorio pagar impuestos y, en el caso de ciertos trabajadores al servicio del Estado, estos no están obligados a enviar su declaración porque el Estado retienedirectamente sus impuestos.”
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“Por lo tanto, es obligatorio enviar la declaración de impuestos”.

Como resulta evidente intuitivamente, el conyunto Pr en la segunda premisa (que hace las veces de una excepción) altera la validez general de la conclusión Oq. Sin embargo, en lugar de exigir que la primera premisa contenga una lista exhaustiva de excepciones, las lógicas nomonotónicas admiten que existen premisas derrotables.]
Normas son, por ejemplo, los significados de las siguientes frases : "¡te ordeno que te calles, grosero!", "prohibido el paso; perro agresivo puede atacar", "todo ser humano es libre de expresar su pensamiento".

A partir del operador O que significa "obligatorio" es posible calificar actos o proposiciones como obligatorios. Por ejemplo, elacto "pagar impuestos" que representaremos con el símbolo p, puede ser obligatorio: Op. O bien, la proposición "los impuestos se pagan" cuyo símbolo será p*, puede ser obligatoria: Op*. Algunos lógicos piensan que las normas resultantes no son ni verdaderas ni falsas, sino válidas o inválidas.

A partir del operador de obligación y de la negación lógica (que se escribe ¬) es posible definir losoperadores de prohibición (Ph) y de permisión (P):

Op ≡ Ph¬p ≡ ¬P¬p

Lo anterior se lee: "(Obligatorio p) si y solamente si (prohibido no p) si y solamente si (no permitido no p)".

Pérdida de significado

La lógica deóntica estándar expresaría los ejemplos dados antes a través del lenguaje simplificado que acabamos de mencionar, aunque cierta información o matiz se pierdan:"¡te ordeno que te calles, grosero!" se expresaría diciendo simplemente "obligatorio callarse" u "obligatorio que haya silencio"; "prohibido el paso; perro agresivo puede atacar" se expresaría diciendo "prohibida la conducta de entrar" o "prohibido que haya alguien adentro"; "todo ser humano es libre de expresar su pensamiento" se expresaría diciendo "permitido el acto de expresar el propiopensamiento" o "permitido que sea expresado el propio pensamiento". Algunos lenguajes deónticos más complejos pueden expresar rigurosamente nociones asociadas, como el concepto de sanción o amenaza de sanción (evocada en el ejemplo del perro) o el concepto de derecho individual (como el ejemplo del derecho a la libre expresión de las ideas).

El operador de facultad se define: Fp ≡ Pp ^ P¬p

Loanterior se lee: "(Facultativo p) si y solamente si (Permitido p y permitido no p)".

El operador de facultad parece más adecuado para expresar el último de los ejemplos. "Todo ser humano es libre de expresar su pensamiento" quedaría: "es facultativa la conducta de expresar el propio pensamiento" o "es facultativo que sea expresado el propio pensamiento" o, lo que es lo mismo, "están permitidasambas conductas: expresar y no expresar el propio pensamiento".

Tabla de equivalencias

Op ≡ Ph¬p ≡ ¬P¬p
O¬p ≡ Php ≡ ¬Pp
¬O¬p ≡ ¬Php ≡ Pp
¬Op ≡ ¬Ph¬p ≡ P¬p

El operador F no permite definir a los otros operadores por sí solo.

Los axiomas fundamentales del sistema estándar de lógica deóntica son:

Principio de permisión :

Ppv P¬p

Se lee: “acerca de todo acto (o de toda proposición concerniente a un acto), o bien éste está permitido o bien está permitida su negación”.

Principio de distribución deóntica :

P(p v q) ≡ Pp v Pq

Se lee: “el enunciado según el cual la disyunción de dos actos está permitida equivale, a su vez, a la disyunción de dos enunciados: el que afirma que el primer acto está...