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Algebra Lineal y Geometr´ I. Curso 2010/11. Departamento de Algebra. http://www.departamento.us.es/da
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Cap´tulo 1
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Sistemas de ecuaciones lineales
1.1. Introducci´ n
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Estas notas est´ n basadas en las realizadas por el profesor Manuel Jesus Gago Vargas
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para la asignatura M´ todos matem´ ticos: Algebra lineal de la Licenciatura en Ciencias y
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T´ cnicasEstad´sticas.
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Un problema fundamental que aparece en matem´ ticas y en otras ciencias es el an´ lia
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sis y resoluci´ n de m ecuaciones algebraicas con n inc´ gnitas. El estudio de un sistema de
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ecuaciones lineales simult´ neas est´ ´ntimimamente ligado al estudio de una matriz reca
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tangular de n´ meros definida por los coeficientes de las ecuaciones. Esta relaci´ n parece
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que se hanotado desde el momento en que aparecieron estos problemas.
El primer an´ lisis registrado de ecuaciones simult´ neas lo encontramos en el libro
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chino Jiu zhang Suan-shu (Nueve Cap´tulos sobre las artes matem´ ticas), (v´ ase McTutor
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y Carlos Maza) escrito alrededor del 200 a.C. Al comienzo del cap´tulo VIII, aparece un
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problema de la siguiente forma:
Tres gavillas de buencereal, dos gavillas de cereal mediocre y una gavilla de cereal
malo se venden por 39 dou. Dos gavillas de bueno, tres mediocres y una mala se venden
por 34 dou. Y una buena, dos mediocres y tres malas se venden por 26 dou. ¿Cu´ l es el
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precio recibido por cada gavilla de buen cereal, cada gavilla de cereal mediocre, y cada
gavilla de cereal malo?
Hoy en d´a, este problema lo formular´amoscomo un sistema de tres ecuaciones con
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tres inc´ gnitas:
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3x + 2y + z = 39,
2x + 3y + z = 34,
x + 2y + 3z = 26,
donde x, y y z representan el precio de una gavilla de buen, mediocre y mal cereal, respectivamente. Los chinos vieron el problema esencial. Colocaron los coeficientes de este
sistema, representados por ca˜ as de bamb´ de color, como un cuadrado sobre un tablero
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decontar (similar a un abaco), y manipulaban las filas del cuadrado seg´ n ciertas reglas
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establecidas. Su tablero de contar y sus reglas encontraron su camino hacia Jap´ n y finalo
mente aparecieron en Europa, con las ca˜ as de color sustituidas por n´ meros y el tablero
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reemplazado por tinta y papel.
En Europa, esta t´ cnica lleg´ a ser conocida como eliminaci´ n Gaussiana, en honore
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del matem´ tico alem´ n Carl F. Gauss.
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Algebra Lineal y Geometr´ I. Curso 2010/11. Departamento de Algebra. http://www.departamento.us.es/da
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Figura 1.1: Numerales chinos con ca˜ as de bamb´
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Figura 1.2: C.F. Gauss (1777-1855)
Como la t´ cnica de eliminaci´ n es fundamental, empezamos el estudio de nuestra
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materia aprendiendo c´ mo aplicar este m´todo para calcular las soluciones de los sistemas
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lineales. Despu´ s de que los aspectos computacionales se manejen bien, profundizaremos
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en cuestiones m´ s te´ ricas.
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1.2. Eliminaci´ n Gaussiana y matrices
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Nota 1.2.1. En lo que sigue consideraremos fijado un cuerpo k de coeficientes. En el texto
nos referiremos a los elementos del cuerpo como numeros o escalares. El lector bien´
puede pensar que k es el cuerpo Q de los n´ meros racionales, R de los reales o incluso
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C de los complejos. Aunque debe tener en cuenta que todo lo dicho sobre sistemas de
ecuaciones lineales y matrices es cierto en general para cualquier cuerpo k.
Definici´ n 1.2.1. Sea n ≥ 1 un n´ mero natural. Una ecuaci´ n lineal es una expresi´ n de
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la forma
a1 x1 + a2 x2 + · · · + anxn = b,
donde a1 , a2 , . . . , an y b son n´ meros conocidos y x1 x2 , . . . , xn son inc´ gnitas. Los
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n´ meros ai se denominan coeficientes de la ecuaci´ n, mientras que b es el t´ rmino indeu
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pendiente.
Una soluci´ n de la ecuaci´ n lineal anterior es una serie de n´ meros α1 , α2 , . . . , αn
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que la satisfacen, es decir, que verifican
a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn =...