Juhuj
Páginas: 17 (4026 palabras)
Publicado: 11 de diciembre de 2012
Dinámica de los sistemas de partículas
• Introducción: generalización de la 2ª ley de Newton
• • • • •
(1) Momento lineal de un sistema de partículas: principio de conservación (2) Momento angular de un sistema de partículas: principio de conservación (3) Centro de masas de un sistema de partículas (4) Energía cinética y energía total de un sistema de partículas (5) Colisiones1
_________________________________________________________________Tema 4
Introducción: Generalización de la 2ª Ley de Newton
Queremos extender en este tema los conceptos que hemos visto en los temas anteriores, pasando del caso de una sola partícula a un sistema con varias (N) partículas. Trataremos de extender los conceptos vistos así como los teoremas a aplicar. Para una sola partícula(i) hemos visto:
→ → →
ri v i a i
→
CINEMÁTICA 2ª LEY DE NEWTON MOMENTO LINEAL
ri
O
i
Fi = m i a i
→
→
→ →
pi = mi vi L i = ri x m i v i
→ → →
MOMENTO ANGULAR
→
→
L i = M i = ri x Fi
Si
• →
→
→
Mi = 0
Eci = 1 m i v i2 2
→
L i = cte
PPO. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR
ENERGÍA CINÉTICA
2_________________________________________________________________Tema 4
Generalicemos para el caso de un sistema formado por N partículas. Lo que queremos hacer es ver qué expresión, equivalente a la 2ª ley de Newton, debemos aplicar: Para cada partícula (i) tendremos:
→ → → →
ri v i a i ri
En cuanto a las fuerzas, debemos considerar dos tipos:
→
• Fuerzas externas: Fi • Fuerzas internas debidas a las interaccionescon otras partículas
O
∑m
i =1
N
i
= m T = cte
Consideremos estas fuerzas internas como fuerzas a pares: f ij
i
Fi + ∑ f ij
j =1
→
N →
f ii = 0
i
3
_________________________________________________________________Tema 4
Así, la 2ª ley de Newton se escribirá:
→
i
Fi + ∑ f ij = m i a i
j =1
→
N →
→
Fi
i
Esto da lugar a Necuaciones vectoriales diferenciales (3N ecuaciones diferenciales de 2º orden). La resolución es compleja y se usan métodos estadísticos o numéricos y soluciones aproximadas.
Si en la expresión anterior tomamos momentos (respecto un cierto punto O):
→
i
ri x Fi + ∑ ( ri x f ij ) = ri x m i a i
j=1
→
N
→
→
→
→
→
Fi
→
(tenemos también N ecuaciones) O
rii
4
_________________________________________________________________Tema 4
Si sumamos para las N partículas:
∑ F + ∑∑ f = ∑ m a
i =1 N i i =1 j =1 → ij i =1 i → i N N → i i =1 i i =1 j=1
N →
N
N →
N
→ i
∑ (r x F ) + ∑∑ (r x f
→ ij
) = ∑ ( ri x m i a i )
i =1
N
→
→
Estas N ecuaciones se simplifican debido al carácter de las f ij
i Enconcreto: ●
→ →
f ij = − f ji
∑∑ f
i =1 j =1
N
N → ij
=0
f ij
f ji
j
5
(ley de acción y reacción)
_________________________________________________________________Tema 4
● Además, las f ij
sumatoria:
son fuerzas dirigidas en la dirección i j. Así, la
∑∑ r x f
incluye términos:
→ → → → →
i =1 j=1 i
N
N →
→ ij
→
→
ri
→ →
→
rj − ri→
ri x f ij + rj x f ji = ri x (f ij + f ji ) + (rj − ri ) x f ji = 0
f ij = − f ji
→ →
→
→
→
rj
O
f ji // rj − ri
→
→
→
Por tanto:
∑∑ r x f
i =1 j=1 i
N
N →
→ ij
=0
N → i N → i →
Así, nos queda:
∑F = ∑m a
i =1 N i i =1 i → i → i =1 i
N →
[1]
∑ (r x F ) = ∑ (r
i =1
x mi a i )
[2]
6_________________________________________________________________Tema 4
(1) Momento lineal de un sistema de partículas: principio de conservación
– Generalización del momento lineal – Principio de conservación del momento lineal
7
_________________________________________________________________Tema 4
Generalización del momento lineal
Generalicemos ahora los conceptos de cantidad de movimiento y momento angular para...
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