Jummpi

Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

APUNTES DE NIVEL BÁSICO

Unidad 12

LIMITES INFINITOS ASÍNTOTA DE UNA CURVA

ALBERTO GUTIERREZ BORDA

ICA-PERÚ

Límites Infinitos- Asíntota de una curva

BÁSICO: TEMA 12

INDICE

12.1.

Introducción ……………… ……………………………………………….

03 03 04 09 10 11 14 21 23 40

12.2. Asíntotade una curva …………….……………………………………….. 12.3. Límites al infinito ...……………………………………………………….. Límites al infinito para funciones racionales ……..………………………. Límites infinitos …………………………………………………………. 12.4. Algebra de límites al infinito ……………………………………………… 12.5. 12.6.

12.7. Clasificación de las asíntotas ..……………………………………………. 12.8. Posición relativa de la función con respecto a la asíntota …..……………..12.9. Ejercicios resueltos … …………….……..………………………………. 12.10. Ejercicios propuestos ..………………….…………………………………

Alberto Gutiérrez Borda

Facultad de Ciencias-Matemáticas

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Límites Infinitos- Asíntota de una curva

BÁSICO: TEMA 12

12.1. INTRODUCCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y)tienden al infinito. Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y = f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. En matemática enunciados tales como "aproximarse indefinidamente" (o "tender a") no son definidasrigurosamente si no se utiliza explícitamente el concepto de límite. Queriendo adoptar un lenguaje más conforme a aquel que se emplea en el estudio topológico de los límites se puede decir que la curva C1 es una asíntota de la curva C2 si se establece una distancia mínima y que existe un trecho no limitado por la curva C2 que dista de la asíntota C1 menos de la distancia mínima establecida. Engeneral la curva C2 puede parecer intersecar varias veces a su asíntota C1. Sin embargo aquello que hace a C1 una asíntota de C2 es el hecho que C2 se aproxima a C1 por un trecho ilimitado sin jamás coincidir con C1, y esto significa prescindir de otras eventuales y ocasionales intersecciones. Esto explica también la etimología de la palabra asíntota, la cual deriva del griego a-sym-ptōtos, donde a-posee un valor privativo (= no), mientras que sym-ptōtos está compuesto por sym-, "con", y ptōtos, un adjetivo que connota a aquello que "cae". Entonces sym-ptōtos describe aquello que "cae junto (a algo)", o también aquello que "intersecta", y a-sym-ptōtos etimológicamente describe aquello que "no interseca". De este modo se puede recurrir a un lenguaje figurado y decir que además de las eventualesintersecciones finitas existe una "intersección al infinito" entre C1 y C2, y que por esto tal intersección se puede aproximar entonces indefinidamente pero sin jamás alcanzarse.

12.2. ASINTOTA DE UNA CURVA
Al analizar la forma de una curva , muchas veces se precisa conocer el comportamiento de la función, cuando la abscisa y la ordenada de un punto variable de la curva, juntas, o porseparado tienden en valor absoluto a infinito. Es decir, para un punto (x, y) ó (x, f (x)) variable de la curva, interesa estudiar los siguientes casos: 1. Cuando 2. Cuando 3. Cuando , entonces , entonces , entonces Límites al infinito Límites al infinito Límites infinitos

Alberto Gutiérrez Borda

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Límites Infinitos- Asíntota de una curva

BÁSICO:TEMA 12

Aquí tiene especial importancia el caso para el cual la curva analizada se aproxima indefinidamente a una recta llamada ASÍNTOTA de la curva y cuya definición y determinación se precisará mas delante.

12.3. LIMITE AL INFINITO
Sea el límite de una función f (x) cuando número real. , ó , siendo a un

Ahora, se quiere conocer el comportamiento de f (x) cuando la variable x toma...