Kartareas

Antecedentes históricos del cálculo

Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundogriego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes realizó en el siglo III a.C. Aunque hubo que esperar mucho tiempo, hasta el siglo XVII, ¡2000 años!, para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaría, para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacarla inexistencia de un sistema de numeración adecuado -en estecaso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica yla geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico-y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió principalmente en el siglo XVII. Ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- quees el infinito. Para los griegos elinfinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamentepequeño y lo infinitamente grande. Ya se vislumbra de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado;también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja deZenónsobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos. Ese alguien fue Aristóteles. Lo quehizo fue prohibir el infinito en acto "no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio" ,escribió, pero añadió "es claro que la negación absoluta delinfinito es una hipótesis que conduce a consecuenciasimposibles" de manera que el infinito "existe potencialmente[...] es por adición o división". Así, la regulación aristotélica del infinito no permiteconsiderar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fue Eudoxio, discípulo de Platón y contemporáneo de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas.Eudoxiopostulóque "toda magnitud finita puede ser agotada mediante lasubstracción de una cantidad determinada". Es el famosoprincipio de Arquímedes que éste toma prestado aEudoxioyque sirvió a aquél para superar la primera crisis de lasMatemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.No obstante, fue Arquímedes el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente su método se perdió y por tanto notuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo-recordemos que su original método "mecánico" dondeademás
 
se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 ... La genial idea delsiracusano fue considerar las áreas como una colección-necesariamente infinita- de segmentos. Habrá que esperar2000 años hasta que otro matemático -en este caso Cavalieri-volviera a usar de esa manera los infinitos. De hecho Leibniz descubrió la clave de sucálculo al ver un trabajo de Pascal donde éste usaba un método semejante. La necesidad de entender obras griegas difíciles como lasdeArquímedestuvo gran influencia en el nacimiento delcálculo. -ya en el siglo XVII se habían recuperado y sedominaban la mayoría de las obras griegas. También ayudó al surgimiento del cálculo el cambio deactituden la matemática del siglo XVII quizá influenciada por losgrandes descubrimientos de todo tipo -geográficos, científicos ,médicos y tecnológicos- que fue el interés de los matemáticos por descubrir más que por dar pruebas rigurosas. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristotélicas. Yfinalmente, el descubrimiento de la Geometría analítica deDescartesyFermat.La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la...