kjhfvjhmnl,

1.4 Ecuaciones diferenciales lineales.


Definición: Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la forma

a(x)y’ + b(x)y = c(x)

donde a(x), b(x) y c(x) sonfunciones únicamente de la variable x.

Para las ecuaciones lineales de primer orden expresadas en su forma normal:

y’ + p(x)y = q(x)

se cuenta con el siguiente teorema de existencia y unicidad desoluciones de un problema de valor inicial (Teorema de Picard).


Teorema:

Si p(x) y q(x) son funciones continuas en algún intervalo (a, b) que contiene al punto x0, entonces para cualquier y0 ∈R existe una única solución del problema de valor inicial:

y0 + p (x) y = q (x)
y (x0) = y0
Para la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales, contamos con algunos métodos deresolución, tales como:
Método del Factor Integrante.
Método de exactas o no exactas.
Variación de parámetros o de constantes.
Separación de variables.













1.5. Ecuación Diferencial deBernoulli.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:



se denomina ecuación diferencial de Bernoulli.

Es claro que, si r D 0, entonces tenemos una ecuación diferenciallineal



También, si r D 1, entonces tenemos una ecuación diferencial lineal

Las siguientes ecuaciones diferenciales son de Bernoulli:


Resolución de la ecuación diferencial de BernoulliUna ecuación diferencial de Bernoulli:

se puede convertir en una ecuación diferencial lineal realizando el siguiente procedimiento:

1. Si se multiplica la ED por y-r , se obtiene:

2. Dado quese busca una ED lineal, esto nos sugiere el cambio de variable:

3. Derivando con respecto a x:

Utilizando en la ecuación del punto 1, las dos condiciones anteriores, obtenemos:

Esta últimaexpresión es una ecuación diferencial lineal para u en función de x. (La variable dependiente en este caso es u.)

4. Esta ecuación diferencial se puede resolver con los métodos del F. I., exactas...