La cara oculta de las esferas (articulo):d

laberintos e infinitos

La cara oculta de las esferas
Dr. Efrén Morales Amaya Instituto de Matemáticas, UNAM efren@matcuer.unam.mx

Después de definir la esfera S n en el espacio euclidiano R n+1 como el lugar geométrico de puntos que equidistan de un punto, en primer lugar podemos observar algunas propiedades de naturaleza geométrica de S n. Por ejemplo, S n tiene un punto equicordal, esdecir, un punto P con la propiedad de que todas las cuerdas de la esfera que pasan por P tienen la misma longitud, donde P será el centro. Otro ejemplo es el hecho de que S n es un cuerpo de ancho constante. Llamemos a esta clase de propiedades de la esfera propiedades del tipo I. Nos podríamos preguntar si existe algún conjunto convexo distinto de la esfera que tenga las propiedades del tipo I. Porotro lado, consideremos situaciones reales de nuestro universo físico restringidas a la geometría esférica; por ejemplo, después de observar que el campo gravitacional producido por una esfera sólida, cuya masa está uniformemente distribuida, es igual al campo gravitacional producido por una masa puntual, entonces planteamos el siguiente problema:

Dado un campo gravitacional producido por uncuerpo convexo en el espacio, cuya masa está uniformemente distribuida, que actúa sobre cada punto del complemento (como si toda la masa de dicho cuerpo estuviera concentrada en un punto), ¿es este convexo una esfera? Llamemos a esta segunda clase de propiedades de la esfera propiedades del tipo II. En el libro “La cara oculta de las esferas” del profesor Luis Montejano Peimbert se nos presenta, demanera extraordinaria, un bellísimo ejemplo de cómo es posible hacer uso de las propiedades del tipo I para estudiar y resolver problemas que involucran a las propiedades del tipo II. De lo que me ocuparé en lo que resta del artículo es en detallar lo anterior. En primer lugar, Montejano es muy cuidadoso tanto de introducir como de conducir a sus los lectores a través de su libro. Confiado en lomaravilloso de su ciencia, de su arte, pide cautela, dedicación y audacia para que, de esta manera, la aventu-

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un paseo por el quéhacer

ra intelectual que el libro ofrece sea plena y fantástica. Podemos ilustrar lo anterior mediante unejemplo: imagine un juego mecánico padrísimo en un parque de diversiones, de pronto se aparece Montejano y le dice a usted: “joven, abroche muy bien su cinturón de seguridad; cuando este aparato se encienda usted debe abrir los brazos y las piernas. Hoy usted va a saber lo que es volar de verdad”. Y en efecto, uno vuela. En segundo lugar, la elección por parte de Montejano del problema del tipo II esinmejorable, el problema número 19 del Libro Escocés, problema de Ulam (ver IV El libro escocés y V Equilibrio en cualquier posición): Si un sólido de densidad uniforme tiene la propiedad de flotar en equilibrio en cualquier posición en la que se le deje, ¿debería ser éste necesariamente una esfera? En particular, cuando la densidad es cero: Si un sólido descansa en equilibrio en cualquierposición en la que se le deje

sobre una superficie plana horizontal, ¿debería ser éste necesariamente una esfera? Además de su belleza intrínseca tal problema tiene un enorme valor sentimental para Montejano por ser éste el motivo de sus desvelos durante sus mocedades. Sin embargo, sus sufrimientos se vieron recompensados al materializar su sueño de demostrar el Problema de Ulam en el caso de densidadcero; cuya elegante demostración sirve, además, como un magnífico ejemplo del material expuesto en la primera parte del libro (I Sombras y Tajadas y III El círculo). Se rumora que a Montejano todavía la versión general del problema de flotación le produce insomnios. Por otro lado, la solución del problema de flotación en su versión bidimensional resulta inesperada: cuando la densidad es un...