la hierbola

LA HIPERBOLA

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Entonces se dice que la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

EJEMPLO:
Dados dos puntos F y F" llamados focos, y una distancia K, llamada constante de la hipérbola (K:

ELEMENTOS DE UNA HIPERBOLA

Ecuaciones en coordinadas polares



ECUACIONES
PARAMETRICAS:
ECUACIONES DE LA HIPERBOLA
1. Hipérbola con focos

TEOREMA: 
La ecuación de la hipérbolacentrada en el origen y cuyos focos están en los puntos
F (-c, 0) y F(c, 0) viene dada por: 

Demostración:  Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada, se tiene de acuerdo a la
definición i. que:

  Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir: 

Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:

Elevandonuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir:

  2. Hipérbola con focos en

TEOREMA: 
La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos
F" (0, -c) y F(0, c) viene dada por:  

  La demostración es similar a la anterior.
3. Caso General 
 Si en vez de  considerar el  centro de la hipérbola  en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hipérbola correspondiente, se transformarán utilizando las ecuaciones de traslación en:  

Según que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente.  
Observaciones: 
i. En la figura, se ha trazado la hipérbola centrada en el origen  y  focos en  lospuntos F1(c, 0) y F2 (-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vértices de la hipérbola y sus coordenadas son V1(a, 0) y V2 (-a, 0). Los puntos M, N, P  y  Q  tienen  coordenadas: M (a, b), N (-a, b), P (-a, -b) y Q(a, -b).  
  El rectángulo MNPQ recibe el nombre de rectángulo auxiliar de la hipérbola.  

ii. La gráfica de la hipérbola es simétrica con respecto al eje x y con respecto al ejey.   iii. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asíntotas  oblicuas de la hipérbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por: 

Una forma "nemotécnica" de obtener las ecuaciones de las los asíntotas de la hipérbola es la siguiente: En la ecuación de la hipérbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0 (cero).  
Así, en el caso particular de lahipérbola

Hacemos:

iv. En el caso particular, cuando a = b, las ecuaciones de la hipérbola se transforman en:

En ambos, la hipérbola se llama: Hipérbola Equilátera y tienen como asíntotas las rectas 

Asíntotas de la hipérbola
Las asíntotas de la hipérbola son dos rectas a las que la curva se acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas.
Si en la ecuación de la hipérbola se despeja y,resulta:

Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta indefinidamente, mientras que el numerador siempre va a permanecer estático (invariable). Así la diferencia se hace tan pequeña como se quiera al crecer x.
Por tanto, la hipérbola se aproxima indefinidamente a las rectas

Estas rectas se llaman ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA.
OBSERVACIONES:
Es largo el proceso para poder conocer lasasíntotas de una hipérbola.
Sencillamente se eleva al cuadrado las dos ecuaciones de las asíntotas,

De esta manera obtienes:

Conclusión
Para calcular las asíntotas sencillamente se iguala a cero el primer miembro de la ecuación reducida de la hipérbola y se despeja y.
Propiedades de la hipérbola
Muchas propiedades de la hipérbola están asociadas con sus tangentes. Como la ecuación...