la media armonica y geometrica

La media armónica, denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.
Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto delos otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.
La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.
Propiedades
1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.
2. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos.
3. Lamedia armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para cualesquiera números reales positivos :


Media geométrica


Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b.
En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todoslos números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es

Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

Propiedades
El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.
La media geométrica de un conjunto de númerospositivos es siempre menor o igual que la media artimética:

La igualdad sólo se alcanza si .

Media geométrica ponderada
Al igual que en una media aritmética pueden introducirse pesos como valores multiplicativos para cada uno de los valores con el fin de ponderar o hacer pesar más en el resultado final ciertos valores, en la media geométrica pueden introducirse pesos como exponentes:

Dondelas son los «pesos».
Caso ilustrativo
Una cadena de expendedores de gasolina el año pasado aumentó sus ingresos respecto al año anterior en 21%; y han proyectado que este año van a llegar a un aumento de 28% con respecto al año pasado. ¿Cuánto es el promedio anual del aumento porcentual?
Definitivamente no es (21% + 28%):2 = 24,5%.
El monto de la producción, al final de dos años, es100(1,21)(1,28)= 154,88. Si en cada año se tuviera una tasa anual de aumento de i% resulta
100 → 100(1+i) → 100(1 +i)2.
Entonces
100(1 +i)2 = 154,88
(1 +i)2 = 1,5488
1 + i = =1,244507
i = 0,244507 = 24,451% 1



Número índice
Un número índice es una medida estadística que permite estudiar las fluctuaciones o variaciones de una magnitud o de más de una en relación al tiempo o al espacio. Losíndices más habituales son los que realizan las comparaciones en el tiempo, por lo que, como veremos más adelante, los números índices son en realidad series temporales.
Aproximación
Los números índices nacen de la necesidad de conocer en profundidad la magnitud de un fenómeno y poder realizar comparaciones del mismo en distintos territorios o a lo largo del tiempo. Una forma inicial de resolver elproblema es referir cada situación a la anterior, pero esto no hace viable la posibilidad de comparaciones significativas, al menos directamente, salvo en lo concerniente a dos de ellas inmediatas. Por esto es más conveniente escoger una situación determinada como punto de referencia inicial, para remitir a ella todas las demás observaciones, esta situación se denomina situación base y lascomparaciones que se realizan vienen establecidas a través de un número índice. Los números índices, o simplemente índices, proporcionan comparaciones entre datos correspondientes a diferentes situaciones, escalonadas con arreglo a algún criterio conocido (por ejemplo, por el transcurso del tiempo).
Si definimos a como el Número Índice de un determinado valor o bien en el período t, respecto al...