La potencia 0 = 1

Sí, tiene una lógica. Se trata de vacíos.

Antes de darte algunas pruebas, te voy a hacer ver una analogía con la cuenta inferior a la potencia, la multiplicación.

5 ∙ 0 = 0

Esto lo sabemostodos porque lo aprendemos desde chicos, y nos parece perfectamente lógico. "Cinco, ninguna vez, es 0". Aquí sobreentendemos una parte del enunciado. Sería: "Cinco, [estando ahí] ninguna vez, es 0".Pero eso es impreciso, eso de "estando". Veamos de qué se trata:

5 ∙ 3 = 5 + 5 + 5 = 15
5 ∙ 2 = 5 + 5 = 10
5 ∙ 1 = 5 = 5
5 ∙ 0 = ? = 0

La lógica nos permite rellenar ese hueco con "0". ¿Peropor qué? Si te fijas encaja perfectamente, 15, 10, 5, 0. Acaba en un número especial, el "0". 

Esto es porque el "0" es la "suma vacía", es la "identidad aditiva". Esto ocurre porque 0 es el único yexclusivo número que, sumado, no altera. Por ello, aunque no lo veas, siempre está presente, y cuando no hay cincos, lo único que hace es manifestarse. De hecho, en realidad, lo que escribí antessería:

5 ∙ 3 = 5 + 5 + 5 + 0 + 0 + 0 ...= 15
5 ∙ 2 = 5 + 5 + 0 + 0 + 0 ... = 10
5 ∙ 1 = 5 + 0 + 0 + 0 ...= 5
5 ∙ 0 = 0 + 0 + 0 ... = 0

Así, aplicamos esta lógica a la exponenciación o potencia:5³ = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125
5² = 5 ∙ 5 = 25
5¹ = 5 = 5
5^0 = ? = 1

Si te fijas aunque al principio digas "Cinco elevado a cero... es nada (0)", tienes que ser más preciso. ¿Qué está haciendo cinco?No está simplemente "estando" o sumando. Está multiplicando. Entonces tenemos que encontrar, al igual que antes, el "producto vacío" o la "identidad multiplicativa" (ahora es multiplicación, no suma).Este número no podía ser otro que "1", pues es el número único y exclusivo que multiplicado por algo no lo altera. Así, está siempre presente y se manifiesta en el "producto vacío", cuando lo vacíasde cincos:

5³ = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ... = 125
5² = 5 ∙ 5 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ... = 25
5¹ = 5 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ... = 5
5^0 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ... = 1
La potencia 0 = 1

Además la serie lógica de 125, 25,...