La Vida Es Bella

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ESTADÍSTICA II
SOLUCIÓN-PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO

EJERCICIO 1 (NOVALES 2.1)
Consideremos Pt = P0egt . Dado que dicha función es continua y que existen y
son continuas las derivadas de todos los órdenes, podemos aplicar Taylor a Pt
en el punto t = 0. Resulta:
Pt(t) = Pt(0) +

Pt ' (0).( t − 0)
+ R1( t )
1!

donde R1(t) es un infinitésimo, cuando t → 0, de orden mayor que uno.Por lo tanto, como Pt(0) = P0, Pt’(t) = P0 gegt y Pt’(0) = P0 g, resulta:
Pt(t) ≅ P0 + P0.g.t ⇒ [Pt(t) - P0] / P0 ≅ g.t, que es la expresión requerida.
Además ésta es lineal en t (puede verse como la “fórmula de una recta”) para
valores de t próximos a cero.
•

a) Como Pt = P0 (1+π)t , π = eg – 1, usando la notación P t =
que (at)’ = at.La:

[

•

∂P
∂t

y recordando

]

P t= [P0L(1 + π)](1 + π)t = P0L(1 + e g − 1) (1 + π)t = P0 g(1 + π)t

Por lo tanto:
•

P g(1 + π)t
Pt
=g
=0
Pt
P0 (1 + π)t

b) Si Pt = P0egt entonces Pt-1 = P0eg(t-1) y por lo tanto:
Pt − Pt −1 P0 e g − P0 e g( t −1)
=
Pt −1
P0 e g( t −1)

Con lo que sacando en el numerador factor común P0eg(t-1):
Pt − Pt −1 P0 e g( t −1) (e g − 1)
=
= eg − 1 = π
g( t −1)
Pt −1
P0 eEJERCICIO 2 (NOVALES 2.3)
Elaboramos el siguiente cuadro:
MES
Dic-94
ene-95
feb-95
mar-95
abr-95
may-95
jun-95

ti

ti’

0,0074
0,0024
0,0053
0,0064
0,0083
0,0044

0,007
0,002
0,005
0,006
0,008
0,004

IPi
185
186,4
186,8
187,8
189,0
190,6
191,4

IPi’
185
186,3
186,7
187,6
188,7
190,2
191,0

Donde:
ti = la tasa de aumento intermensual con dos decimales entreel mes i y el i+1.
ti’ = la tasa de aumento intermensual con un decimal entre el mes i y el i+1.
IPi = el valor índice mensual tomando la tasa con dos decimales.

2

IPi’ = el valor índice mensual tomando la tasa con un decimal.
Por lo tanto el valor numérico del índice en junio de 1995 es para una tasa de
crecimiento intermensual con dos decimales es IP = 191,4 y con un decimal es
IP’= 191,0.
El crecimiento del índice con dos decimales es (191,415682 / 185) – 1 =
0,03468 y con un decimal es (190,997291 / 185) – 1 = 0,03242.
Las tasas anualizadas son, para dos decimales 1,034682 – 1 = 0,07056 y para
un decimal 1,032422 – 1 = 0,06589.
Se concluye que, con el redondeo, al cabo de 6 meses se tiene cierta distorsión
del verdadero valor del índice.

EJERCICIO 3
1)
2,5VENTAS

2
1,5
1
0,5

AÑOS

0
1985

1990

1995

2000

ˆ
ˆ
2) La fórmula de la recta (que notaremos como Y = β0 + β1 X) será discutida
más adelante en el curso en el tema que trata sobre regresión lineal. Se
aceptarán como válidas, por ahora y sin justificación que:
n

∑ ( x − x).( y − y)
i

ˆ
β1 =

i

i =1

n

∑ (x − x)

ˆ
ˆ
y β0 = y − β1 x

2

i

i =1Con dichos cálculos obtenemos que la fórmula de la recta de tendencia es:
y = 0,1882 x - 374,06
2,5

1,5
1

VENTAS

y = 0,1882x - 374,06
2

0,5
0
1985

AÑOS
1990

1995

2000

3

3) La tendencia, utilizando promedios móviles, se calcula de la siguiente
manera:
a) Si la cantidad de tiempo en la que se hace el promedio móvil es impar
(notaremos 2n + 1) entonces latendencia en el momento i es:
Ti =

Ti − n + Ti − n +1 + ... + Ti + ... + Ti + n −1 + Ti + n
2n + 1

b) Si, en cambio es par (2n):
Ti =

05 × Ti − n + Ti − n +1 + ... + Ti + ... + Ti + n −1 + 0,5 × Ti + n
2n

En la tabla siguiente hemos calculado dichas tendencias por promedios
móviles. Resulta claro que la tendencia para el primer y último año de orden 3
no se puede calcular, así como enla de orden 4 no es posible para los dos
primeros y dos últimos años. Esta dificultad se podría subsanar repitiendo el
primer dato hacia atrás y el último hacia delante tanto como sea necesario.
AÑO
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999

Yi
0,2
0,4
0,5
0,9
1,1
1,5
1,3
1,1
1,7
1,9
2,3

2,5

T3
2
1,5
1
0,5
0

T3i

T4i

0,367
0,6
0,833...