Lab 4 Metodos 1

Universidad Rafael Landívar 
Facultad de Ingeniería 
Métodos Numéricos 
Ing. López Orozco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

REPORTE DE PRÁCTICA NO.  4 
 MÉTODO DE JACOBI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Andrea Margarita Valencia Oseida 
Carné: 1149008 
 
 

 
INTRODUCCIÓN 
 
Encontrar  las  aproximaciones  de  los  valores  de   las  variables  de  un  sistema  de  
ecuaciones  lineales,  por  medio de  la realización  de varios cálculos, los  cuales  se 
realizan  por  etapas, obteniendo así aproximaciones por cada etapa.  El método de 
Jacobi  permite  hallar  las  aproximaciones  a  una  solución  de  sistemas  de 
ecuaciones  lineales,  utilizando  los  valores  iniciales  para  la primera aproximación,  
luego  los  de  la  primera  para  la  segunda  y  así  sucesivamente;  en  este método el 
cálculo  de  cada  variable  es  independiente  por  lo  tanto  ninguna variable depende 
de la  otra. Esta práctica consiste  en  encontrar la  solución  de un sistema de  cuatro 
ecuaciones  de  cuatro  incógnitas,  utilizando  el  Método  de  Jacobi.  Es  el  método 
iterativo  para  resolver  sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones. 
 
Para  encontrar  la  solución  del  sistema  de  ecuaciones  se  utilizó  el  programa  
Matlab,  y  se  realizó   un  modelo  y  solo  se  cambian   las  ecuaciones,  los  valores 
iniciales y la  tolerancia.  Además de utilizar la  tolerancia para encontrar  las raíces, 
también se puede realizar determinando un número de iteraciones.  
 
­3​
Se encontró  la  solución  del  sistema  de  ecuaciones  con  una tolerancia  <10​
, con 
un  total  de  42  iteraciones,  en  las  cuales  se  determinó  cada  incógnita.  Con  un 
método  estándar,  tres variables y tres ecuaciones. Luego con el mismo número de 
tolerancia  con  un  total  de  11  iteraciones  en  el  cual  se  determinó  cada  incógnita 
con  el  método  estándar  de  Jacobi, solo que  ahora  con  cuatro incógnitas y cuatro 
ecuaciones.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
MARCO TEÓRICO 
 
Método de Jacobi: 
 
Es el  método  iterativo  para resolver  sistemas de ecuaciones lineales más simple y 
se  aplica  sólo  a  sistemas  cuadrados,  es  decir  a  sistemas  con  tantas  incógnitas 
como  ecuaciones.   Se  utiliza  para  resolver  ecuaciones  lineales  del  tipo  Ax = b.  ​
El 
​
método  de  Jacobi  consiste  en usar  fórmulas  como  iteración  de ​
punto  fijo​
.  La base 
del  método  consiste  en  construir  una  sucesión  convergente  definida  
iterativamente,  el  límite de  esta sucesión es precisamente la  solución del sistema. 
Si  el  algoritmo  se  detiene  después  de  un  número  finito  de  pasos,  se llega a una aproximación al valor de x de la solución del sistema. 
 
El  método  de  Jacobi  siempre  converge  si  la  matriz ​
A​
 es ​
estrictamente  diagonal 
dominante​
. 
 
En este método  primero se observa que exista la diagonal dominante, si no es así, 
se  debe  modificar  el  orden  de  las  filas  de  las  ecuaciones  para  determinarla.  La 
diagonal dominante debe tener la siguiente forma:  
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde  a11,  a22,  a33…ann son los valores mayores absolutos de cada ecuación. 
 
Luego  se  determina  una  ecuación  por  cada  variable  de  x,  despejando  el  valor, 
quedando de la forma:  x = c + Bx.   
 
Luego  utilizando  el  valor  proporcionado  al  principio  de  cada  problema 
correspondiente  a  cada  x,  se  sustituye  en  cada  ecuación  para  encontrar  las 
aproximaciones siguientes.  
 

Para  calcular  el valor  de  x,  de  debe  repetir  el   procedimiento  hasta  llegar  a  la 
tolerancia indicada. 
 
 
 
DESARROLLO 
 
La práctica consiste en resolver una ecuación utilizando el Método de Jacobi. 
 
­3​
Resuelva  el  siguiente  sistema  de  ecuaciones  usando  ​
Tol  <  10​
, 
t 
No = 30,​
   ​
x(0)​
​= <1, 1, 1,1> ​

 

 
 
En  este  caso  hay  que  cambiar  las  filas  de ...