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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
´
1000004 CALCULO DIFERENCIAL
TALLER No. 2
1. En cada uno de los siguientes casos, considere una circunferencia de radio 1 y centro en
(0,0). Partiendo del punto (1,0) dibuje un arco que tiene la longitud dirigida dada. ¿En
qu´ caudrante termina?
e
(a)
(b)

7
π
4
4
π
3

(c) 1
(d) −4.5
2. Seax la longitud de arco trazado como se describe en el ejercicio anterior. En cada caso
halle x en el intervalo [0, 2π] si las coordenadas dadas corresponden al punto final del arco
√
2
, 22 ).
2
√
1
(− 2 , 23 ).
√
(− 23 , 1 ).
2
√

(a) (
(b)
(c)

3. Para cada uno de los arcos del ejercicio 1, bas´ndose en el trazo, sin usar calculadora
a
ni tabla, deduzca en cu´l de lossiguientes intervalos se hallan los valores del seno y del
a
coseno:
√

−1, −2 3 ,

√
√
− 3
, − 22
2

√

, −

2
, −1
2
2

, − 1 , 0 , 0, 1 ,
2
2

√
1
, 2
2 2

√

,

√
2
, 23
2

√

,

3
,1
2

.

4. Usando calculadora, verifique, las respuestas del ejercicio anterior.
5. La distancia entre dos puntos A y B situados sobre la tierra, se mide sobre unacircunferencia que pasa por ellos y tiene su centro C en el centro del planeta (el radio es, entonces,
la distancia de C a la superficie). Si el di´metro de la tierra es aproximadamente de 8.000
a
millas (unos 12.800 km), calcule la distancia aproximada entra A y B cuando el angulo
´
ACB mide:
(a) 30o
(b) 75o
(c) 1o
6. Con respecto al ejercicio anterior, se define una milla n´utica como ladistancia entre A
a
y B cuando el angulo ACB mide un minuto. Si un grado tiene 60 minutos, determine
´
aproximadamente el n´mero de kil´metros que tiene una milla n´utica.
u
o
a
7. Determine la longitud del lado de un pol´
ıgono regular inscrito en una circunferencia de
radio 1 si el pol´
ıgono es:
(a) un cuadrado.

(b) un hex´gono.
a
(c) un dec´gono.
a
8. Un tramo de una carreteratiene una inclinaci´n de 1.5 grados. Si el punto inicial y el
o
punto final se encuentran respectivamente a 200 y 220 mts, sobre el nivel del mar, cual
es la longitud del tramo?
9. Una funci´n f es peri´dica si existe un n´mero real positivo p tal que para cualquier x
o
o
u
del dominio de f se tiene que x + p pertenece tambi´n al dominio de f y f (x + p) = f (x).
e
Al m´s peque˜o de estosn´meros p se le llama periodo de f . Las funciones seno y
a
n
u
coseno son peri´dicas y su periodo es 2π. Las funciones de la forma sin ax y cos ax d´nde
o
o
a ∈ R tambi´n lo son. As´ por ejemplo f (x) = cos 3x es peri´dica pues f (x) = cos 3x =
e
ı,
o
2
cos(3x + 2π) = cos(3(x + 3 π)) = f (x + 2 π). El periodo es 2 π. En general, si y = sin ax
3
3
o y = cos ax, a = 0 el per´
ıodo es 2π.
a
De otra parte, si b es una constante diferente de cero, las gr´ficas de y = b sin x y y =
a
b cos x, cortan el eje x en los puntos donde lo cortan las gr´ficas de y = sin x y y = cos x
a
respect´
ıvamente. Si b > 0, el m´ximo valor que toman y = b sin x y y = b cos x es b y lo
a
toman cuando sin x = 1 y cuando cos x = 1, respectivamente. Si b < 0, el m´ximo valor
a
que toman y = bsin x y y = b cos x es −b y lo toman cuando sin x = −1 o cos x = −1,
respectivamente. As´ ese valor m´ximo es |b|. Esta constante se llama amplitud de la
ı,
a
gr´fica.
a
b
Finalmente, como para a = 0 tenemos que sin(ax + b) = sin a(x + a ) y cos(ax + b) =
b
cos a(x + a ), las gr´ficas de y = cos(ax + b) y y = sin(ax + b) son respect´
a
ıvamente las
b
gr´ficas de y = cos ax y y = sin axtrasladadas hacia la derecha si − a es positivo y hacia
a
b
b
a
a
la iquierda si − a es negativo. En los dos casos la gr´fica est´ trasladada −| a | unidades.
b
El n´mero − a se llama corrimiento o fase.
u

Verifique que cada una de las siguiente funciones es peri´dica. Halle se per´
o
ıodo, amplitud
y corrimiento de fase, trace su gr´fica.
a
(a) sin 8πx.
(b) 4 cos 1 x.
3
(c) 4 −...