Las Tecnicas Del Calculo

Cap´ıtulo 8
Las T´
ecnicas del C´
alculo
Derivaci´
on
8.1.

Derivaci´
on de Funciones Compuestas
(Regla de la Cadena)

Sean f y g dos funciones, g diferenciable en x0 y f diferenciable en u0 = g(x0 ), u =
g(x), la funci´on compuesta f o g es diferenciable en x0 , y:
[f o g] (x0 ) = f (g(x0 ))g (x0 ) ´o tambi´en si
y = F (x) = f (g(x)) entonces

df dg
dy
dy du
dF
=
·
en x = x0 o bien
=
·
dx
dg dxdx
du dx

De igual forma: (f o g o h) (x) = f (g(h(x))) · g (h(x) · h (x) y as´ı sucesivamente.

8.2.

Derivada de la Funci´
on Inversa

Sea y = f (x) continuas y mon´otona, en un intervalo, que es diferenciable en un
dy
= f (x0 ) = 0.
punto x0 del intervalo, siendo
dx
Si x y y representan los incrementos correspondientes de las dos variables en el
punto x0 , tenemos
y
= f (x0 ).
l´ım
x→0
x
De loanterior se sigue que existe una funci´on inversa x = f −1 (y) que es continua,
1
x
1
= l´ım
ya que cuando
a lo menos en el punto y0 = f (x0 ) y l´ım
=
y
x→0
y→0
y
f (x0 )
x
17

Luis Zegarra A.

Las T´ecnicas del C´alculo

y → 0 tambi´en

8.3.

18

x → 0.

F´
ormulas de Derivaci´
on de las Funciones B´
asicas

Sea u y v funciones de x derivables en un punto.
1. (un ) = n un−1 u
2. (senu) = (cosu)u
3. (cosu) = (−senu)u
4. (tgu) = (sec2 u)u
5. (cotgu) = (−cosec2 u)u
6. (secu) = (sec u tg u)u
7. (cosecu) = (−cosec u cotgu)u
8. (log u) =

1
u
u

9. (au ) = au log a · u
10. (eu ) = eu · u
11. (senh u) = (cos h u)u
12. (cos h u) = (sen h u)u
13. (Arc senu) = √
14. (Arc tg u) =

u
= −(Arc cotg u)
1 + u2

15. (Arc sec u) =

8.4.

u
= −(Arcos u) , |u| < 1
1 − u2

u
√
= −(Arc cosec u) , |u| > 1|u| u2 − 1

Derivadas de Orden Superior

Si la derivada de orden (n − 1) de una funci´on y = f (x) existe entonces la derivada
de orden n se determina mediante:
f (n) (x) = [f (n−1) (x)]
En particular f (x) = [f (x)] ; f (x) = [f (x)] y as´ı sucesivamente.

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Si u y v son funciones derivables n veces, entonces
(c1 u + c2 v)(n) = c1 u(n) + c2 v (n)donde c1 y c2
son constantes arbitrarias.
Regla de Leibniz.
n

(uv)(n) =
k=0
n
k

8.5.

=

n (n−k) (k)
u
·v ,
k

n!
(n − k)!k!

donde

y u(0) = u; v (0) = v.

Derivada de una Funci´
on Impl´ıcita

Si una funci´on derivable y = f (x) satisface la ecuaci´on F (x, y) = 0 entonces
derivamos la ecuaci´on respecto de x, considerando que y es funci´on de x, es ded
F (x, y) = 0 y despejamos y = f (x).
cir
dxPara hallar f (x) se vuelve a derivar respecto de x, la ecuaci´on obtenida y as´ı sucesivamente.

8.6.

Derivada de una Funci´
on Representada Param´
etricamente

Si el sistema de ecuaciones:
x = φ(t); y = ψ(t), α < t < β
donde φ(t) y ψ(t) son funciones derivables y φ (t) = 0, define a y = f (x) como una
funci´on continua de x, entonces existe una derivada
f (x) =

ψ (t)
φ (t)

las derivadas deordenes superiores, se obtiene mediante
f (x) =

[f (x)]t
[f (x)]t
; f (x) =
;···
φ (t)
φ (t)

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en particular para f (x) se obtiene la f´ormula
f (x) =

8.7.

φ (t) ψ (t) − φ (t) ψ (t)
[φ (t)]3

Problemas Resueltos

1. Sea f (x) = xr ; r ∈ R entonces f (x) = rxr−1

(x = 0)

Demostraci´
on.
Sea xr = er log x , en virtud a la regla de la cadena (xr ) =er log x (r log x) =
1
xr r = rxr−1
x
2. Obtenga f´ormulas para:
a) 1 + 2x + 3x2 + · · · + nxn−1
b) 12 x + 22 x2 + 32 x3 + · · · + n2 xn
Soluci´
on.
a) Considerando la P.G. de raz´on x, se tiene:
1 + x + x2 + · · · + xn = (xn+1 − 1)/(x − 1),
para x = 1, derivando:

1 + 2x + 3x2 + · · · + nxn−1 =

(n + 1)xn (x − 1) − (xn+1 − 1)
=
(x − 1)2

nxn+1 − (n + 1)xn + 1
(x − 1)2
b) Multiplicando larelaci´on encontrada en (a), por x, se obtiene:
x + 2x2 + 3x3 + · · · + nxn =

nxn+2 − (n + 1)xn+1 + x
,
(x − 1)2

derivando nuevamente, multiplicando por x, y ordenando:
12 x + 22 x2 + · · · + n2 xn =
n2 xn+3 − (2n2 + 2n − 1)xn+2 + (n + 1)2 xn+1 − x2 − x
(x − 1)3

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3. Sean f (x) y g(x) dos funciones derivables con f (x) = 0, considerando la funci´on h(x)...