Leonardo De Pisa

En el año 1225 publica su cuarto y principal libro: Liber Quadratorum 'El Libro de los Números cuadrados', a raíz de un desafío de un matemático de la corte de Federico II (Teodoro) que le propusoencontrar un cuadrado tal que si se le sumaba o restaba el número cinco diera como resultado en ambos casos números cuadrados. Curiosamente, el año de publicación del libro es un número cuadrado.Fibonacci comienza con los rudimentos de lo que se conocía de los números cuadrados desde la antigua Grecia y avanza gradualmente resolviendo proposiciones hasta dar solución al problema de análisisindeterminado que le habían lanzado como desafío.
En la parte original de la obra introduce unos números que denomina congruentes (Proposición IX) y que define, en terminología actual, como c = m.n (m² -n²), donde m y n son enteros positivos impares, m > n. De esta forma, el menor de ellos es 24. Enuncia y muestra que el producto de un número congruente por un cuadrado es otro número congruente.Utiliza estos números como herramientas para sus posteriores proposiciones y los hace intervenir en una identidad que es conocida como Identidad de Fibonacci (Proposición XI). La identidad es:[1/2(m²+n²)]² ± mn (m² - n²) = [1/2(m² - n²) ± mn]². Esta permite pasar con facilidad de un triángulo rectángulo a otro.
Leonardo de Pisa utiliza frecuentemente las proposiciones precedentes como lemas para lassiguientes, por lo que el libro lleva un encadenamiento lógico. Sus demostraciones son del tipo retórico y usa segmentos de recta como representación de cantidades. Algunas proposiciones no estánrigurosamente demostradas, sino que hace una especie de inducción incompleta, dando ejemplos prácticos y específicos, pero su dominio algorítmico es excelente y todo lo que afirma puede ser demostradocon las herramientas actuales. No se encuentran errores importantes si se hace excepción de la incompletitud de algunas demostraciones. El contenido del libro supera a la respuesta al desafío...