Leyes de operaciones

LEYES DE OPERACIONES
Hemos visto sumariamente como a través del curso de la historia de las matemáticas, se ha ido ampliando el campo de los números hasta llegar al concepto de número real. El camino recorrido ha sido, unas veces, el geométrico, que siempre desemboca en la aritmética pura, formal; otras veces, el camino puro, formal ha iniciado el recorrido para desembocar en lo intuitivo, en logeométrico. Como ejemplos del primer caso, tenemos los números irracionales, introducidos como razón de dos segmentos con el propósito de representar magnitudes inconmensurables, y que hacen posible la expresión del resultado de la radicación inexacta. Y también los números fraccionarios que surgen para expresar el resultado de medir magnitudes conmensurables, y que hacen posible la divisióninexacta, como ejemplo del segundo caso, están los números negativos que aparecen por primera vez como raíces de ecuaciones, y hacen posible la resta en todos los casos, ya que cuando el minuendo es menor que el sustraendo esta operación carece de sentido cuando trabajamos con números naturales. Más tarde estos números negativos (relativos) servirán para expresar los puntos a uno y otro lado de unarecta indefinida.


Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numérico vamos a exponer las leyes formales, de la suma y la multiplicación, ya que las demás operaciones fundamentales pueden explicarse como a partir de estas. Conviene ir adaptando la mentalidad del principiante al carácter formal (abstracto) de estas leyes, pues ello contribuirá a la comprensión de los problemas queulteriormente le plantearan las matemáticas superiores. Por otra parte, el conjunto de estas leyes formales constituirá una definición indirecta de los números reales y de las operaciones fundamentales. Estas leyes que no requieren demostración, pues son de aprehensión inmediata, se llaman axiomas.


Igualdad
I .Axioma de identidad: a =a.

II .Axioma de reciprocidad: si a=b, tenemos que b=a.

III.Axioma de transitividad: si a=b y b=c, tenemos que a = c.
Suma o adición
I. Axioma de uniformidad: la suma de dos números es siempre igual, es decir única: así, si a =b y c =d, tenemos que a+c = b+d.


II. Axioma de conmutividad: a+b = b +a.

III. Axioma de asociatividad: (a+b)+c = a+ (b+c)

IV.- Axioma del elemento neutro: Hay un número y solo un número el cero, de modo que a + 0 =0+a = a, paracualquier valor de a, de ahí que el 0 reciba el nombre de elemento neutro de la suma.
Multiplicación.
I.-Axioma de uniformidad: el producto de dos números es siempre igual, es decir , único, así si a=b y c =d, tenemos que ac =bd.

II.- Axioma de conmutatividad: ab =ba.

III.-Axioma de asociatividad: (ab)c = a (bc).

IV.- Axioma de distributividad: con respecto a la suma tenemos que a (b+c)=ab+ac.

V.-Axioma del elemento neutro de la multiplicación.-Hay un número y solo un número, el uno (1), de modo que a x 1 = 1 x a = a, para cualquier valor de a.

VI.-Axioma del elemento inverso.- para todo número real a ≠ 0 (a distinto de cero) corresponde un número real, y solo uno x, de modo que ax =1. Este número x se llama inverso o reciproco de a y equivale a 1a.

Axiomas de orden.

I.-Tricotomía: Si tenemos dos números reales a y b sólo puede haber una relación y solo una entre ambos, que a > b ; a= b o a < b.

II.- Monotonía de la suma: Si a > b  y c > 0 tenemos que a +c > b+c.

III.- Monotonía de la multiplicación: si a > b y c > 0 tenemos que ac > bc.

Axioma de continuidad

1. Si tenemos dos conjuntos de números reales A y B, de modo que todo número de A es menor que cualquier númerode B, existirá siempre un número real c con el que se verifique a≤c≤b, en que a es un número que está dentro del conjunto A, y b es un número que esta dentro del conjunto de B.

Operaciones fundamentales con los números relativos
Suma de números relativos
En la suma o adición de números relativos podemos considerar cuatro casos: sumar dos números positivos; sumar dos números negativos; sumar...