LeySenosyCosenos

Ley de Senos y Cosenos
Recordemos:
Ley de Senos

c

Ley de Cosenos

𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
=
=
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑐𝑐

2

2

A

2

𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 – 2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑎𝑎)
𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴2 + 𝐶𝐶 2 – 2𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑏𝑏)
𝐶𝐶 2 =𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵2 – 2𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑐𝑐)

b

a

B

C

Analiza la siguiente situación y contesta las preguntas.

Pedro y Carlos son buenos amigos, y también son compañeros en la clase de Matemáticas,
por lo que sereunieron en casa de Pedro para resolver algunos ejercicios. Uno de los problemas de
la tarea fue resolver (calcular el valor de todos los lados y ángulos) el siguiente triángulo:

10

X = ¿?
a = ¿?
b= ¿?20

25º

a
X

b

Lo primero que realizaron fue determinar el valor del lado “X”; para lo que ambos amigos
utilizaron la “Ley de Cosenos”; la que expresaron y desarrollaron de la siguiente manera:

𝐴𝐴2 =𝐵𝐵2 + 𝐶𝐶 2 – 2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑎𝑎)

𝑋𝑋 2 = (20)2 + (10)2 – 2(20)(10)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(25º)
𝑋𝑋 2 = 400 + 100 – 400𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(0.9063)
𝑋𝑋 2 = 500 – 326.52
𝑋𝑋 2 = 137.48
𝑋𝑋 = √137.48
𝑋𝑋 = 11.7251

Posteriormente decidenutilizar la “ley de Senos” para calcular la magnitud de los ángulos
“a” y “b”, pero cada uno decide calcular de inicio un ángulo distinto; Pedro calculó primero el
ángulo “a” y Carlos comenzó con elángulo “b”, efectuando los siguientes procedimientos
respectivamente.

Pedro

𝑋𝑋
20
=
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 25º
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎

11.7251
20
=
0.4226
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎
27.7451 =
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 =

20
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎

20
27.7451

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 = 0.7208Carlos

𝑋𝑋
10
=
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 25º
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏

11.7251
10
=
0.4226
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏
27.7451 =
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏 =

10
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏

10
27.7451

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏 = 0.3604

𝑎𝑎 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆−1 (0.7208)

𝑏𝑏 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆−1 (0.3604)

𝑏𝑏 = 180 − (25+ 46.1205)

𝑎𝑎 = 180 − (25 + 21.1247)

𝑎𝑎 = 46.1205º

𝑏𝑏 = 108.8795º

𝑏𝑏 = 21.1247º

𝑎𝑎 = 133.8753º

Tomando en cuenta lo anterior llegaron a los siguientes resultados para un mismo triángulo:Pedro

𝑋𝑋 = 11.7251
𝑎𝑎 = 46.1205º
𝑏𝑏 = 108.8795º

Carlos

𝑋𝑋 = 11.7251
𝑎𝑎 = 133.8753º
𝑏𝑏 = 21.1247º

Como se puede observar existen diferencias en los resultados para un mismo problema,
lo que es...