libro fisica

Propósito

¿Qué aprenderás?

La definición de la hipérbola; a reconocer sus elementos característicos, a graficarla,
a expresar su ecuación en sus diferentes formas, y sus aplicaciones.

¿Cómo lo lograrás?

Analizando y comprendiendo la definición de la hipérbola deducirás su ecuación,
con ejemplos, actividades y problemas de aplicación.

¿Para qué te va a servir?

Para comprenderaplicaciones en diversas áreas de la ingeniería como en la construcción y el diseño de puentes; y en la física, para el estudio de la trayectoria de
partículas; asimismo, profundizarás en las interpretaciones del significado de la
ecuación de segundo grado.

286

6 .1
Análisis de la hipérbola

Una vez que has estudiado el sistema de coordenadas cartesiano y las ecuaciones
de la línea recta,de la circunferencia, de la parábola y de la elipse, ahora estudiarás
la hipérbola. Hemos señalado que estas curvas son conocidas con el nombre genérico de cónicas, pues todas ellas se pueden obtener mediante la intersección de
conos con un plano, como se ilustra en la Figura 6.1.

Circunferencia

Parábola

Elipse

Quizá las propiedades más interesantes y útiles que descubrió
Apoloniosobre las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que
gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos,
parabólicos o hiperbólicos, según la curva que se haga girar. Apolonio
demostró que si se coloca una fuente de luz en uno de los focos de un
espejo elíptico, la luz reflejada en el espejo se concentra enel otro
foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de
manera que los rayos incidentes sean paralelos al eje del espejo, la luz
reflejada por el espejo se concentra en el foco; por esta propiedad es
posible encender un papel si se le coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el Sol, que es como tradicionalmente se encendía el fuegoolímpico. En el caso de los espejos
hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si
viniera del otro foco.

Figura 6.1
Cónicas

Hipérbola

Para este tema necesitas recordar
I

Cómo determinar el valor absoluto
de un número.

I

Cómo desarrollar un binomio al
cuadrado.

I

Cómo completar un trinomio
cuadrado perfecto.

I

Cómo descomponer en factoresun trinomio cuadrado perfecto
y una diferencia de cuadrados.

I

Cómo resolver sistemas
de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.

287

UNIDAD 6

La hipérbola

F1
F2¢

F2

Figura 6.2
Sistema de navegación
loran

F1¢

El sistema de navegación loran consiste en dos pares de estaciones de radio que se encuentran en puntos fijos y emiten señales al mismo tiempo a un radioreceptor. Por ejemplo, dos estaciones de radio
F1 y F2 que se sitúan en una costa, como se ilustra en
la Figura 6.2, emiten una señal simultáneamente; un
radio receptor de un barco en alta mar recibe las señales y se puede determinar la diferencia de tiempo
con que las recibe. Si el barco se mueve de manera
que esta diferencia permanezca constante, estará siguiendo una trayectoria hiperbólica.Las estaciones
fijas reciben el nombre de focos de la hipérbola formada por la trayectoria del barco. Usando otro par
de estaciones transmisoras, F1¢ y F2¢, es posible determinar la posición de un barco: se encontrará en la
intersección de las dos hipérbolas.

La hipérbola, al igual que las otras cónicas, tiene determinados elementos característicos, algunos de los cuales se muestran en laFigura 6.3.
En la figura, la letra C se utiliza para denotar el centro de la hipérbola; F1 y F2 , sus
focos; V1 y V2 , sus vértices; l 1 y l 2 , su eje focal y su eje normal respectivamente, y LR,
cada uno de sus lados rectos.
El segmento de línea recta que une los vértices de una hipérbola recibe el nombre de eje transverso. La distancia del centro de la hipérbola a cualquiera de sus vértices...