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Problemas
´ lculo Vectorial
de Ca
Ernesto Aranda

Pablo Pedregal

Ernesto Aranda

Pablo Pedregal

Universidad de Castilla - La Mancha

´
PROBLEMAS DE CALCULO
VECTORIAL

T´ıtulo: Problemas de C´
alculo Vectorial
Tercera Edici´
on, febrero 2013
Primera edici´
on publicada por Septem Ediciones, marzo 2004
Segunda edici´
on publicada por Lulu.com, enero 2009
c b Ernesto Aranda y Pablo Pedregal,2013
Impreso por Lulu.com

Composici´
on realizada con LATEX

Todas las im´
agenes del libro han sido realizadas con PGFPLOTS
Este libro est´
a disponible en descarga gratuita en la direcci´
on
http://matematicas.uclm.es/earanda/?page_id=152

Cap´ıtulo

PREFACIO

Estimado lector:
tienes ante t´ı una nueva edici´
on del libro Problemas de C´
alculo Vectorial,
publicado por primera vez en la editorialSeptem Ediciones en marzo de
2004, y reeditado en 2009 bajo la modalidad de edici´on Print On Demand 1
con Lulu.com. En esta nueva edici´
on hemos corregido una gran cantidad
de errores presentes en las ediciones anteriores, y hemos aprovechado para
modificar la estructura de los temas para adaptarlos a los cambios suscitados
por la integraci´
on de los estudios que impartimos al nuevo EspacioEuropeo
de Ense˜
nanza Superior.
Lo que el lector tiene en sus manos no pretende ser m´as que un manual
para ejercitarse en la resoluci´
on de problemas de c´alculo de funciones de
varias variables, orientado a un primer curso de carreras cient´ıfico-t´ecnicas.
Nuestra intenci´
on ha sido recopilar una cantidad suficiente de problemas con
soluciones para, por una parte, evitar que el alumno repitainnecesariamente
ejercicios, y por otra, poder contrastar sus resultados con las soluciones dadas.
Para facilitar su uso hemos incluimos tambi´en un buen n´
umero de ejercicios
completamente resueltos que esperamos sirvan a la vez como orientaci´on y
referencia para abordar el resto de problemas.
La resoluci´
on de ejercicios es, sin lugar a dudas, el aspecto esencial en el
estudio de lasasignaturas de matem´
aticas. Pero aunque aprender a resolverlos
resulta clave para superar estas asignaturas, no hay sin embargo una metodolog´ıa expl´ıcita que asegure el ´exito. Si bien, la u
´nica forma de aprender a
hacer ejercicios es haci´endolos, el exceso de repetici´on suele traer consigo un
aprendizaje que se basa m´
as en el uso de la memoria que en el del razonamiento. Es entonces cuandocualquier nueva variante de un ejercicio se torna
muy dif´ıcil para el alumno, lo que le lleva a la frustrante sensaci´on de realizar
un considerable esfuerzo en el estudio de una asignatura de la que luego no
obtiene resultados satisfactorios.
Los libros de problemas como ´este pretenden inculcar en el alumno esa
metodolog´ıa necesaria para poder abordar los ejercicios, tratando de conjugar
las ideaspresentes en los resultados te´
oricos con los ejemplos realizados, para
aplicarlas luego de forma adecuada al nuevo problema. Es en este punto
1 Impresi´
on

bajo demanda

4

PREFACIO

cuando se requiere que el estudiante realice el esfuerzo m´aximo, que consiste
en enfrentarse de forma aut´
onoma a la resoluci´on del problema.
Los contenidos que comprenden los ejercicios que exponemos aqu´ıcorresponden a un curso t´ıpico de iniciaci´
on en el c´alculo de funciones de varias
variables: continuidad, derivaci´
on parcial, integraci´on m´
ultiple, una breve iniciaci´
on a la geometr´ıa diferencial a trav´es del estudio de curvas y superficies
y los teoremas cl´
asicos del c´
alculo vectorial; todo ello con un enfoque definitivamente no anal´ıtico. Hemos incluido tambi´en un cap´ıtuloinicial destinado
a repasar aspectos de geometr´ıa del plano y del espacio, que constituyen el
entorno b´
asico a partir del cual el c´
alculo vectorial encuentra una referencia
visual siempre u
´til, y hemos tratado de ilustrar gr´aficamente buena parte de
los ejercicios.
Las cuestiones t´ecnicas y abstractas han sido dejadas de lado para centrarnos en los aspectos del c´
alculo formal, con el fin...