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CAPÍTULO VIII

Interpolación

Introducción

En el transcurso de la validación de modelos matemáticos es cotidiano el tener una colección de valores de una función para un conjunto de puntos. En una gran cantidad de aplicaciones el conocer el comportamiento de dichos puntos es muy importante. El ingeniero puede necesitar de conocer la pendiente en un punto dado, conocer varias derivadas dela función, puede necesitar integrarla o puede necesitar hacer predicciones a futuro o puede que sean necesarios valores de la función para puntos que no están incluidos.

Este es un problema común cuando no se tiene un modelo matemático completo de algún fenómeno y se prefiere utiliz*ar mediciones más o menos exactas. El lector está familiarizado con la tan común interpolación lineal que seutiliza para encontrar valores en tablas; logaritmos, senos, presiones de vapor, temperatura, fricción, etc.

El problema se puede plantear de la siguiente forma; dada la siguiente tabla de valores:

Xi Yi

200 1554.9
205 11689.3
210 1907.7
215 2147.5
220 2319.8
225 2598.2
230 2797.6

¿Cuál será el valor de Yi para Xi=2177?

Esta pregunta sólo se puede contestar en forma aproximada,dado que realmente nunca podemos saber el valor real. A este problema se llama el problema de interpolación: dada una serie de valores de una función Yi=F(xi), evaluada en los puntos Xi, encontrar valores de F para valores de Xi que no se encuentren en la tabla. Y aunque no se puede realmente saber el valor real, podemos estimar el máximo error en que podemos incurrir, dependiendo del método queutilizamos para aproximar la respuesta.

Además, hay preguntas como ¿Cuál es la integral definida entre 205 y 225? ¿Cuál es la derivada en Xi=205? Que no son fáciles de contestar. En realidad, con el apropiado tratamiento matemático cualquier tipo de función se puede utilizar para llevar a cabo la interpolación. Sin embargo, los polinomios tienen ciertas ventajas sobre otras funciones (lascuales se discutieron en el capítulo XXX) que las hacen ideales para la interpolación. Si aproximamos la función F(xi) con un polinomio de grado n Pn(xi), podremos tomar ventaja en la facilidad de Pn(xi) para derivarse e integrarse, además, calcular los coeficientes de un polinomio es siempre más simple que los de cualquier otra función.

8.1 Teorema de Weierstrass

La suposición de que unpolinomio es suficiente para aproximar cualquier función dentro de un cierto rango se basa en el teorema de Weierstrass [BURDEN] el cual dice que si una función F(x) está definida y es continua en un rango [a,b], entonces existe un polinomio P(x) definido en [a,b] tal que:

|Pn(x)-F(x)|< x [a,b] (8.1)

8.2 Polinomio de Interpolación

Supóngase que se desea ajustar un polinomio a una serie de datoscomo lo muestra genéricamente la siguiente tabla:

Xi Yi

X0 Y0
X1 Y1
X2 Y2
... ...
Xn-1 Yn-1
Xn Yn

Para hacer esto sólo contamos con un pedazo de información, y es que el polinomio de interpolación Pn(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+...+an-1xn-1+anxn deber ser igual f(x) en todos los puntos donde se conoce f(x). Esto es:

Pn(xi)=f(xi)=Yi i (8.2)

Es evidente que para encontrar loscoeficientes de Pn(x) es necesario resolver un sistema de n+1 ecuaciones. Estas ecuaciones surgen de la igualdad XXX:

Pn(X0)=f(X0) Y0=a0+a1X0+a2X02+a3X03+...+an-1X0n-1+anX0n (8.3)
Pn(X1)=f(X1) Y1=a0+a1X1+a2X12+a3X13+...+an-1X1n-1+anX1n (8.4)
Pn(X2)=f(X2) Y2=a0+a1X2+a2X22+a3X23+...+an-1X2n-1+anX2n (8.5)
... ...
Pn(Xn-1)=f(Xn-1) Yn-1=a0+a1Xn-1+a2Xn-12+a3Xn-13+...+an-1Xn-1n-1+anXn-1n (8.6)
Pn(Xn)=f(Xn)Yn=a0+a1Xn+a2Xn2+a3Xn3+...+an-1Xnn-1+anXnn (8.7)

Esta información es suficiente para encontrar un polinomio de interpolación. El sistema planeado en forma matricial queda como sigue:
(8.8)

Como se discute en la sección XXX, existe solución única para las ai, si el determinante de la matriz X de xin es diferente de cero. La matriz de xin tiene la forma de la matriz de Vandermonde1 la...