limites indeterminados

Límites Indeterminados
En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan indeterminaciones del tipo . El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cero,  ,  , un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Pararesolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.
La indeterminación 
Para salvar indeterminaciones de este tipo, es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los factores comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factor común multiplicando el numerador yel denominador por la expresión conjugada de la que se presenta en uno de ellos.
Ejemplo. Halle 
Al sustituir, resulta  y  lo que genera una indeterminación del tipo .
Sin embargo, como  si x  3, resulta que la función  coincide con la función (x + 3) salvo en x  3.
Como interesa analizar el comportamiento de la función para valores de x próximos a 3 (por izquierda y por derecha), esposible determinar el comportamiento de  analizando el de la función (x + 3).
Por lo tanto puede decirse que 
   
Nota. Existe algo sospechoso en este ejemplo. Si el 3 no estaba en el dominio antes de simplificar, pero sí lo estaba después de simplificar, la función seguramente ha cambiado.
Al decir  mentimos un poco. Lo que en realidad quisimos decir es que esas dos expresiones son iguales en dondeestán definidas. En realidad  y x + 3 son distintas. La diferencia entre ellas es que x  3 no pertenece al dominio de  pero sí al dominio de x + 3. Puesto que  ignora cualquier valor que f pueda tomar x  3, eso no interesa. Desde el punto de vista del límite en 2 esas funciones sí son iguales.
   
Ejemplo. Calcule el valor de .
Al sustituir la variable por 1, tanto el numerador como eldenominador se anulan y se genera la indeterminación . Se factorizan el numerador y el denominador y, para x  1, se simplifican los factores comunes:

   
Ejemplo. Halle el valor de .
Reemplazando la variable por 3 se obtiene la indeterminación . Para resolver este límite, se racionaliza el denominador multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la del denominador yresulta:

  
Ejemplo. Determine el límite .
Al sustituir, resulta  y  lo que genera una indeterminación del tipo .

Si x  3, el denominador tiende a cero. Si x se aproxima a 3 por derecha o por izquierda, en cualquiera de los casos el denominador es positivo por estar elevado al cuadrado. Como el numerador negativo (1), se concluye que el límite es .
La indeterminación 
Losprocedimientos algebraicos para salvar una indeterminación de este tipo, se desarrollan en los siguientes ejemplos:
   
Ejemplo. Determine el valor de .
Al reemplazar la variable por 2 resulta   , que es una indeterminación.
Resolviendo la diferencia se obtiene:

Cuando x se aproxima a 2 por derecha, el numerador tiende a –3 y el denominador a 0 por valores mayores que él. Por lo tanto, la expresiónresulta negativa y el límite es .
  
   
Ejemplo. Calcule 
No es posible escribir,ya que esa diferencia es indeterminada.
Se expresa la función polinomial de la siguiente manera:      –      ya que      x  +     y (2 – x3) –
   
Ejemplo. Halle 
 (indeterminado)
La expresión 
Por lo tanto:     
                      
La indeterminación 
Se analizará el límite delcociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función polinomial de grado n  1 cuando x tiende a + ó a  es + ó  . Para resolver límites de este tipo, se dividen el numerador y el denominador de la función dada por xn, siendo n el mayor de los grados de las funciones polinomiales. Luego se aplican...