Logica Matematica

1. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
La lógica es el estudio del razonamiento; en particular, se analiza si un razonamiento es correcto.
Los métodos lógicos se utilizan en matemáticas para demostrar teoremas.
Una proposición es una a_rmación que es verdadera o falsa, pero no ambas. Por ejemplo las siguientes
a_rmaciones son proposiciones:
Todos los carros tienen siete ruedas
Para todo número enterox se cumple que si x > 0 entonces 2x > 0
Las siguientes oraciones no son proposiciones:
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¿De qué color te pintaste el pelo?
En lo que resta de sección, se utilizarán letras minúsculas o mayúsculas como p, q, P y Q para
representar proposiciones.
1.1. Conectores Lógicos. Los conectores lógicos son símbolos que permiten construir proposiciones
más complejas a partir deproposiciones existentes. Los conectores más fundamentales son
la conjunción, la disyunción y la negación.
1.1.1. Conjunción. La conjunción de p y q, denotada p ^ q, es la proposición .p y q.. Esta proposici
ón sólo es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas. Si al menos una de las proposiciones
es falsa entonces la conjunción es falsa. Esto se muestra mediante la siguiente tabla de verdad:
pq p ^ q
F F F
V F F
F V F
V V V
TEORÍA DE CONJUNTOS 3
1.1.2. Disyunción. La disyunción de p y q, denotada p _ q, es la proposición .p y/o q.. Esta proposici
ón sólo es falsa cuando tanto p como q son falsas. Si al menos una de las proposiciones es
verdadera entonces la disyunción es verdadera. Esto se muestra mediante la siguiente tabla de
verdad:
p q p _ q
F F F
V F V
F V V
V V V1.1.3. Negación. La negación de p, denotada :p o _p, es la proposición .no p.. Si p es verdadera,
entonces la negación de p es falsa y si p es falsa, la negación de p es verdadera. Esto se muestra
mediante la siguiente tabla de verdad:
p :p
F V
V F
1.1.4. Propiedades. A continuación algunas propiedades de la conjunción, disyunción y negación.
Theorem 1.1. Para toda proposición p,q,r secumple
1. Conmutatividad
p ^ q es equivalente a q ^ p
p _ q es equivalente a q _ p
2. Asociatividad
(p ^ q) ^ r es equivalente a p ^ (q ^ r)
(p _ q) _ r es equivalente a p _ (q _ r)
3. Idempotencia
p ^ p es equivalente a p
p _ p es equivalente a p
4. Distributividad
p ^ (q _ r) es equivalente a (p ^ q) _ (p ^ r)
p _ (q ^ r) es equivalente a (p _ q) ^ (p _ r)
5. Doble negación
::p esequivalente a p
6. Leyes de DeMorgan:
:(p ^ q) es equivalente a :p _ :q
:(p _ q) es equivalente a :p ^ :q
Demostración. Todas las propiedades se demuestran fácilmente construyendo las correspondientes
tablas de verdad. _
TEORÍA DE CONJUNTOS 4
1.2. Variables. Con mucha frecuencia, es necesario construir proposiciones que dependan de
objetos identi_cados mediante letras denominadas variables.Por ejemplo, si la variable x se utiliza
para representar un número en algún problema podríamos estar interesados en la proposición .x
es un número positivo.. Aunque en ocasiones utilizaríamos una letra como p para representar
esa proposición, en otras ocasiones se utilizará la notación p(x) para indicar que se trata de una
proposición acerca de la variable x. Esta notación nos permite construirfácilmente diferentes proposiciones
para diferentes valores de x. Usando el ejemplo, p(7) representaría la proposición .7
es un número positivo. y p(a + b) representaría la proposición .a + b es un número positivo.. Se
puede incluso, tener más de una variable. Por ejemplo, la proposición .x es el padre de y. podr
íamos representarla como q(x; y) y así para cada par de valores x y y habría unaproposición
distinta. Las variables utilizadas en estas proposiciones se llaman variables libres ya que pueden
tomar cualquier valor.
Con frecuencia, nos referiremos a una proposición con variables libres como una función proposicional.
1.3. Conectores condicionales.
1.3.1. Implicación. Considérese el siguiente razonamiento:
1. Si hoy es domingo, entonces no voy a trabajar.
2. Hoy es...