Logica Matematica

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Lógica matemática
Adrián Domingo Giménez- adrian_domingo_gimenez@hotmail.com

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Las tablas de verdad
Las leyes de la lógica enunciativa
Tautologías y contradicciones
La paridad lógica
Leyes de la lógica de predicados
Reglas de inferencia
La demostración lógica

Las tablas de verdad.
Existen unas leyes lógicas de gran importancia a partir de las cualespodemos analizar y resolver
los problemas ante los que nos hallemos:

a)

Lógica del opuesto:
Sean dos elementos, p y q, tales que p es el opuesto de q. Si
, entonces,
P
¬p
1
0
0
1
Un ejemplo cotidiano sería: si voy al parque (
); no voy al parque es falso (

).

NOTA: ciertos autores, en vez de poner 1 y 0 para determinar el estado lógico de un elemento,
proposición,… (que indican, como ya se haexplicado, verdadero o falso), prefieren poner V y F,
respectivamente. Se corresponde, pues:

b) Lógica del conjuntor:
Sean p y q dos elementos cualesquiera; entonces,
será:
P
q
p q
1
1
1

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1
0
0
0
1
0
0
0
0
De manera que la lógica del conjuntor afirma que a no serque todos elementos sean
verdaderos, el enunciado es falso. Nótese que
, o, si se prefiere,
.
Ejemplo: sea

el enunciado

y

; entonces tenemos:

1.
2.
3.
4.

Si yo como y almuerzo,

1.
2.
3.
4.

Si yo como o almuerzo,

1.
2.
3.

Si hago deporte, se me acelera el pulso:

4.

Si no hago deporte, no se me acelera el pulso:
. (Es una forma distinta de
decir lo anterior: la negación de la negación es laafirmación;
, como tenemos un no (¬)
tanto en el antecedente como en la consecuencia, es como si no los tuviéramos, de manera que
estamos diciendo lo mismo que en el apartado 1: “si no hago deporte, no se me acelera el pulso").

q es V

Si yo como y no almuerzo,

es F

Si yo no como y almuerzo,

es F

Si yo no como y no almuerzo,
es F
Normalmente, aparecen más de dos elementos. Nótese que
.
c)Lógica del disyuntor:
Sean p y q dos elementos cualesquiera tales que
; entonces,
será:
P
q
p q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Es decir, la lógica del disyuntor nos dice que a no ser que todos los elementos sean falsos, el
enunciado es verdadero.
Ejemplo: sea el enunciado
y
; entonces tenemos:
q es V porque ambos elementos son ciertos.

Si yo como o no almuerzo,

es V porque un enunciado es cierto.

Si yono como y almuerzo,

es V porque un enunciado es cierto.

Si yo no como y no almuerzo,
es F porque no hay enunciado verdadero alguno.
d) Lógica de la condicional:
Sean p y q dos elementos tales que p produce o implica q; es decir,
. Entonces;
p
q
p q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Es decir, si el antecedente (p) es V y la consecuencia (q) es F, entonces,
será F; por el
contrario, una condición F puedeimplicar cualquier consecuencia, tanto V como F. Con un
ejemplo lo veremos más claro:
Ejemplo: sea el enunciado
y
. Entonces;
Si hago deporte, no se me acelera el pulso:

;

Si no hago deporte, se me acelera el pulso:
. (Es verdadero porque el
pulso se me puede acelerar debido a otra causa, por ejemplo, que me haya dado un susto).

e) Lógica del coimplicador:
Sean p y q dos elementos tales que pimplica q y q implica p:

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Así nace el coimplicador

, que denota bicondicionalidad. He aquí la tabla de lógica

coimplicatoria:
P

q

p

q

1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Lo que dice el antecedente (p) es una condición absolutamente necesaria para que ocurra lo que dice
elconsecuente (q). Si p y q son verdaderos, está claro que
será también cierto. Cuando ambos
elementos son falsos,

será cierto por el principio de la afirmación como negación negada:

.
Ejemplo de negación negada: “no voy a no comprar eso” es lo mismo que “voy a comprar eso”
Ejemplo de lógica coimplicatoria: Iré al parque si y sólo si hago los deberes.
Observamos que
y
:

1.
2.
3.
4.

Iré al...