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CAPITULO 5

Integral Indefinida
Licda. Elsie Hern´ndez Sabor´
a
ıo

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica
o
Escuela de Matem´tica
a

···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
a
o

2
Cr´ditos
e

Primera edici´n impresa:
o
Edici´n LaTeX:
o
Edici´n y composici´n final:
o
o
Gr´ficos:
a

´
Rosario Alvarez, 1988.
Marieth Villalobos,Alejandra Araya, Jessica Chac´n y Lisseth Angulo.
o
Walter Mora.
Walter Mora, Marieth Villalobos.

Comentarios y correcciones:

escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Contenido
5.1
5.2

Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F´rmulas y m´todos de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
e
o
5.2.1 Regla dela cadena para la antiderivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5.2.2 Integral de la funci´n exponencial de base e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5.2.3 Integral que da como resultado la funci´n logaritmo natural . . . . . . . . . .
o
5.2.4 Integrales de las funciones trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
5.2.5 Integrales que involucran potencias yproductos de funciones trigonom´tricas
e
5.2.6 Integrales que dan como resultado funciones trigonom´tricas inversas . . . . .
e
5.2.7 T´cnicas de Integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
o
5.2.8 Integraci´n por sustituci´n trigonom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
e

3

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4
4
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8
10
19
28
33
44

4

5.1

Integral Indefinida

Dada una funci´n f, una primitiva arbitraria de ´sta se denomina generalmente integral indefinida de f y se
o
e
escribe en la forma

f (x) dx.

La primitiva de unafunci´n tambi´n recibe el nombre de antiderivada.
o
e
Si λ es una funci´n tal que λ (x) = f (x) para x en un intervalo I, entonces la integral indefinida de f (x) est´
o
a
dada por:
f (x) dx = λ(x) + C
C es cualquier n´mero real y recibe el nombre de constante de integraci´n.
u
o
Teorema 1
Si F1 (x) y F2 (x) son dos funciones primitivas de la funci´n f sobre un intervalo [a, b], entonceso
F1 (x) − F2 (x) = C
es decir, su diferencia es igual a una constante.
Prueba: Al final del cap´
ıtulo.
Puede decirse a partir de este teorema que si se conoce cualquier funci´n primitiva de F de la funci´n f ,
o
o
entonces cualquier otra primitiva de f tiene la forma F (x) + C, donde C es una constante. Luego

f (x) dx = F (x) + C si F (x) = f (x)
Nos dedicaremos ahora a estudiar losm´todos que permiten determinar las funciones primitivas, (y por tanto
e
las integrales indefinidas), de ciertas clases de funciones elementales.
El proceso que permite determinar la funci´n primitiva de una funci´n f recibe el nombre de “integraci´n de
o
o
o
la funci´n f ”.
o
Las propiedades estudiadas para la integral definida tambi´n se cumplen para la integral indefinida.
e

5.2F´rmulas y m´todos de integraci´n
o
e
o

5.2.1

Regla de la cadena para la antiderivaci´n
o

Sea g una funci´n derivable en un intervalo I.
o
Sea f una funci´n definida en I y H una antiderivada de f en I. Entonces:
o

5

f [g(x)] · g (x) dx = H[g(x)] + C

Note que Dx [H(g(x)) + C] = H (g(x)) · g (x) + 0 = H (g(x)) · g (x), como H es una primitiva de f entonces
H (x) = f (x) por loque:

H [g(x)] · g (x) = f [g(x)] · g (x)
Luego tenemos que:

1.

[g(x)]n · g (x) dx =

2.

xn dx =

[g(x)]n+1
+ C, n = −1. ¡Compru´belo!
e
n+1

xn+1
+ C, x = 1, ¡Compru´belo!
e
n+1

El caso en que n = −1 ser´ estudiado luego.
a

Ejemplo 1

x dx =

x1+1
x2
+C =
1+1
2

Ejemplo 2

4x5 dx = 4

x5 dx = a

x6
2x6
+C =
+C
6
3

Ejemplo 3

x

−3
7...