LOS 10 CASOS DE FACTORIZACI N

LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN

PRIMER CASO: FACTOR COMÚN MONOMIO Y FACTOR COMÚN POLINOMIO
Es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término si hubiera + ó – seria binomio, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denominapolinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.
EJEMPLO 1:
5a2 - 15ab - 10ac
El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto; 5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c)

SEGUNDO CASO: FACTOR COMUN POR AGRUPACION
Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de unpolinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.
Tratar desde el principio que nosqueden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas.
Ejemplo: 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b
Agrupo los términos que tienen un factor común: (2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)
Saco el factor común de cada grupo:
a (2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
(2x -y +5)(a + b)
TERCER CASO: TRINOMIOCUADRADO PERFECTO
Es igual al cuadrado de un binomio. Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
EJEMPLO 
a2 +2ab + b2= (a+b)2
4x2 – 20xy + 25y2= (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)2 R/.
16 + 40x2 + 25x4 = (4 + 5x2) (4 + 5x2) = (4 + 5x2)2
9b2 –30a2b + 25a4 = (3b – 5a2) (3b – 5a2) = (3b – 5a2)2
400x10 + 40x5 + 1 = (20 x5 + 1) (20 x5 + 1) = (20 x5 + 1)2

CASO CUATRO: DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. 
EJEMPLO 1:  9y2-4x2= (3y-2x) (3y+2x)   R//
CASO ESPECIAL
La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas. 
Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b) La raíz cuadrada de c2 es  c  
Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la delSustraendo (a + b - c)
EJEMPLO  1:
1   4x2 - (x + y)2
4x2 - (x + y)2 = [2x + (x + y)] * [2x - (x + y)]
4x2 - (x + y)2 = [2x + x + y] * [2x - x - y]
4x2 - (x + y)2 = [3x + y] * [x - y] 
CASO 5: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION
Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitadno es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuánto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.
  EJEMPLOS
 4a4 + 8a2 b2 + 9b4
4a4 + 8a2 b2 + 9b4
      + 4a2b2             - 4a2 b2
4a4 +12a2b2 + 9b4- 4a2b2 = (4a4 + 12a2 b2 + 9b4) - 4a2b2

 (4a4 + 12a2 b2 + 9b4) - 4a2 b2
 (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2
(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [(2a2 + 3b2) + 2ab] * [(2a2 + 3b2) - 2ab]
(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [2a2 + 3b2 + 2ab] * [2a2 + 3b2 - 2ab]
4a4 + 8a2 b2 + 9b4= [2a2 + 2ab + 3b2] * [2a2 – 2ab + 3b2]

CASO 6: TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
Trinomios de la forma x2 + bx + c son...