los binomios

INTRODUCCION.
Los productos notables son multiplicaciones entre expresiones algebraicas a los que, debido a la regularidad con la que aparecen en los desarrollos matemáticos, se optó por clasificar en diferentes tipos y estudiar su comportamiento al efectuar las operaciones, con el fin de encontrar una forma que permitiera calcularlos fácilmente.
En esta sesión presentaremos:
• Productosnotables
• Binomio al cuadrado.
• Dos binomios con término común.
• Binomio con una diferencia de cuadrados.
• Binomio conjugado.
En particular, el presente objeto de aprendizaje pretende introducir al alumno en el tema de productos notables, presentando algunas definiciones de utilidad y los tipos de productos notables con los cuales trabajaremos.














PRODUCTO NOTABLEProductos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados,y recíprocamente.
El resultado de multiplicar un binomio por un término se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es , es decir, el producto de la base por la altura , y también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y


Ejemplo:












BINOMIO AL CUADRADO
Cuando un binomiose multiplica por sí mismo se tiene lo que se conoce como un binomio al cuadrado. Después de desarrollar la multiplicación se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemos expresar el binomio al cuadrado como (a + b) 2. Si desarrollamos la multiplicación setiene:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
(a + b)2 = aa + ab + ba + bb
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cuadrado y el lado derecho de la igualdad se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Usando la identidad se puede obtener el resultado sin necesidad de realizar la multiplicación. Solo hay que elevar al cuadrado el primer término delbinomio, sumarle el doble del producto del primero por el segundo y finalmente sumarle el cuadrado del segundo término.
Ejemplo. Obtener el cuadrado de x + 2y y de 3xy + 5.
Usando la identidad se tiene que:
(x + 2y)2 = (x)(x) + 2(x)(2y) + (2y)(2y)
(x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
(3xy + 5)2 = (3xy)(3xy) + 2(3xy)(5) + (5)(5)
(3xy + 5)2 = 9x2y2 + 30xy + 25
Los pasos a seguir para factorizar unBinomio y hallar sus raíces son:

1º Sacar factor común en el caso de que no haya término independiente.
Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a • x + b • x + c • x = x (a + b + c)
Una raíz del polinomio será siempre x = 0
x3 + x2 = x2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = − 1

2º Ver si es una diferencia de cuadrados si tenemos un binomio.
Unadiferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
a2 − b2 = (a + b) • (a − b)
x2− 4 = (X + 2) • (X − 2)
Las raíces son X = − 2 y X = 2

3º Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto si es un trinomio.
Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un binomio al cuadrado.

a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2
a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2



Representación GráficaAplicación
Se tiene un tablero de ajedrez. Se pide hallar una expresión algebraica, que permita calcular el área de cualquier tablero.

Resolución



(5x + 3x)2= (5x)2 + 2(5x) (3x) + (3x)2
A=25X2 + 30X2 + 9X2
A= 64 X2 expresión algebraica
Luego:
Si x= 1 cm entonces A= 64 (1)2 = 64 cm2
Si x= 2 cm entonces A= 64 (2)2 = 256 cm2
Si x= 3 cm entonces A= 64 (3)2 = 576...