Lógica Matemática

Cap´
ıtulo 1

L´gica
o
Introducci´n
o
En este capitulo cubriremos los conceptos b´sicos de l´gica proposicional. Proa
o
posiciones, conectivos l´gicos, tautolog´ y contradicci´n, pero solo desde el punto
o
ıa
o
de vista algebraico y las propiedades algebraicas de los conectivos, lo que llamaremos algebra proposicional.
1.

Proposiciones

Una proposici´n es una unidad dellenguaje tal que puede ser evaluada su veo
racidad, es decir, que dentro de un contexto especifico se puede decidir si esta es
cierta o falsa, por ejemplo: “juan es rubio”. Estas proposiciones pueden ser compuestas de varias proposiciones, por ejemplo la proposici´n “Juan es rubio y de ojos
o
azules”, esta compuesta de las proposiciones “Juan es rubio” y “Juan es de ojos
azules”. A las proposicioneslas abreviaremos con letras minusculas; principalmente
p, q, r, etc.; a las que llamaremos letras proposicionales, por ejemplo a la proposici´n “Juan es Rubio”podriamos llamarla p y a la proposici´n “Juan es de ojos
o
o
azules”podriamos llamarla q, a la proposici´n “Juan es rubio y de ojos azules”la
o
llamaremos r, adem´s podriamos decir que r esta compuesta de p y q. A las unia
dadesling¨isticas que nos permiten unir proposiciones para formar proposiciones
u
compuestas las llamaremos conectivos.
2.

Conectivos

Los conectivos, como dije al final del parrafo anterior nos permiten unir proposiciones para formar proposiciones complejas, los conectivos l´gicos usados comuno
mente son: la negaci´n, la conjunci´n, la disyunci´n, la impliquicaci´n y la doble
o
o
o
oimplicaci´n o equivalencia.
o
Nota 2.1. Con las letras mayusculas V y F simbolizaremos los valores de
verdad de las proposiciones, por ejemplo cuando queramos decir que una proposici´n
o
p es verdadera lo haremos diciendo que p vale V o p = V .
2.1. Negaci´n (¬). Como su nombre lo dice, la negaci´n se usa cuando
o
o
queremos negar una proposici´n, por ejemplo la proposici´n “Juan no es rubio”
o
oes la negaci´n de la proposici´n “Juan es rubio” y si decimos que la proposici´n
o
o
o
“Juan es rubio” la simbolizamos como p, la proposici´n “Juan no es rubio” la
o
simbolizaremos como ¬p. La tabla de evaluaci´n de la negacion es la siguiente.
o
p
V
F

¬p
F
V
3

2. CONECTIVOS

4

Esta tabla la interpretaremos de la siguiete forma. Si una proposici´n es verdao
dera,entonces su negacion es falsa y si es falsa, entonces su negaci´n es verdadera.
o
2.2. Conjunci´n (∧). La conjunci´n la usaremos para simbolizar el t´rmino
o
o
e
“y” que usamos cotidianamente, en el ejemplo de la primera secci´n teniamos la
o
proposici´n “Juan es rubio y de ojos azules” y habiamos dicho que esta a su vez
o
estaba compuesta por las proposiciones “Juan es rubio” y “Juan es deojos azules”,
a las cuales las habiamos llamado p y q respectivamente, ahora a la proposici´n
o
“Juan es rubio y de ojos azules” la simbolizaremos como p ∧ q lo que leeremos como
“p y q”. La tabla de evaluaci´n del conectivo ∧ es la siguiente.
o
p
V
V
F
F

q
V
F
V
F

p∧q
V
F
F
F

Esta tabla la podemos interpretar de la manera siguiente. La conjunci´n de
o
dos proposicioneses verdadera si ambas proposiciones son verdaderas y es falsa en
cualquier otro caso.
2.3. Disyunci´n (∨). La disyunci´n la usaremos para simbolizar el “o”, peo
o
ro para hacerlo primero hay que hacer notar que el “o” que usamos cotidianamente
es ambiguo, pues depende del contexto si este es excluyente o no, es decir, depende
del contexto de la oraci´n si este acepta o no que lasproposiciones sean ciertas
o
ambas simultaneamente, cuando no lo hace decimos que es excluyente, en l´gica
o
suponemos que el “o” no es excluyente. La tabla de evaluaci´n de la disyunci´n es
o
o
la siguiente.
p q p∨q
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
Esta tabla la podemos interpretar como que la disyunci´n de dos proposiciones
o
es falsa solo cuando ambas proposiciones son falsas y es cierta en...