Macroeconomia

Apuntes de
Matemática para Economistas
Extractos del libro “Mathematics for Economics”
de Carl P- Simon y Lawrence Blume

Macroeconomía Superior
Universidad Argentina de la Empresa

Profesor: Dr. Héctor Gonzalez Padilla
Ayudante: Lic. Matías Pacce

Macroeconomía Superior

Apuntes de Matemática para Economistas 1
Cálculo en una variable:
Funciones en R1:
Una función es una reglasimple que asigna un número en R1 a cada número en R1.
Ej: y = x + 1 dónde “x” es denomina variable independiente (o variable exógena en términos
económicos) e “y” es denominada variable dependiente (o variable endógena)
Polinomios:
Las funciones más simples son las denominadas “monomios”, que son funciones escritas bajo la forma:
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f ( x) = ax k , donde a ∈ R1 es el coeficiente del monomio yk ∈ R+ el grado del mismo.
Sumando monomios es como se obtienen los denominados polinomios, cuyo grado es igual al mayor
grado de cualquiera de los monomios que aparecen en el polinomio
Ej: h( x) = − x 7 + 3 x 4 − 10 x 2 , polinomio cuyo grado es igual a 7.
Funciones crecientes y decrecientes:
Una función f es creciente si ∀x1 , x 2 ∈ R1 , x1 > x 2 implica que f ( x1 ) > f ( x 2 )
Unafunción f es decreciente si ∀x1 , x 2 ∈ R1 , x1 > x 2 implica que f ( x1 ) < f ( x 2 )
Sin embargo, una función puede cambiar de creciente a decreciente (o viceversa) en un punto
x0 ∈ R 1 :
Si una función f cambia de decreciente a creciente (creciente a decreciente) en x0 , el gráfico se torna
creciente (decreciente) alrededor del punto ( x0 , f ( x0 )) . Ello implica que el gráfico de f seencuentra
por encima (por debajo) del punto ( x0 , f ( x0 )) alrededor de ese punto. Por ello, ( x0 , f ( x0 )) es
denominado mínimo (máximo) local de la función f. Si el gráfico de la función f nunca se encuentra por
debajo (por encima) del punto ( x0 , f ( x0 )) , i.e., si f ( x) ≥ f ( x0 ) ( f ( x) ≤ f ( x 0 ) ) para todo x,
entonces ( x0 , f ( x0 )) es denominado mínimo (máximo) global o absolutode f.

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Notas tomadas del libro ”Mathematics for Economics”, Carl P. Simon y Lawrence Blume, Ed. W. W.
Norton & Company, New York, 1994

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Dominio:
Dada la función f, el conjunto de x para el cual f ( x) está definido es denominado “dominio” de f.
Notación: Si el dominio de una función real y = f ( x) es el conjunto D ⊂ R 1 , se escribe:
f : D → R1Funciones lineales:

f ( x) = mx + b

Definición: Sean ( x0 , y 0 ) y ( x1 , y1 ) puntos arbitrarios de una recta l . El ratio m =

y1 − y 0
es
x1 − x0

denominado la pendiente de la recta l
Interpretando la pendiente de una función lineal:
La pendiente de una recta mide cuánto cambia “y” cuando uno se mueve sobre la recta incrementando
“x” en una unidad. Por ello, la pendiente de unafunción lineal f mide cuánto se incrementa f(x) dado un
incremento unitario de x o, en otras palabras, la tasa de crecimiento de la función f.
La pendiente de una función juega un rol muy importante para el análisis económico. En este sentido,
cabe mencionar que en la función de utilidad la pendiente de la misma representa la tasa marginal de
sustitución, en la función de costo se interpreta comoel costo marginal y en la función de producción
como el producto marginal.
La pendiente en una función no lineal:
Definimos a la pendiente de una función no lineal f en un punto ( x0 , f ( x0 )) como la pendiente de la
recta tangente al gráfico de f en el punto mencionado (comúnmente denominada como “la derivada de f
en x0 ”).
Definición: Sea ( x0 , f ( x0 )) un punto en el gráfico de y = f( x) . La derivada de f en x0 ,
f ´(x0 )

o

df
( x0 )
dx

o

dy
( x0 )
dx

Es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en ( x0 , f ( x0 )) . Analíticamente,
f ´( x0 ) = lim
h →0

f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h

si el límite existe.

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Reglas de derivación:
a ) d ( f ( x0 ) ± g ( x0 ) ) = f ´( x0 ) ± g´( x0 )

b) d (kf ( x0 ) ) = k...