Mantenimiento

UNIDAD 2. LA INTEGRAL COMO ANTIDERIVADA
Propósitos. Introducir el concepto de integral indefinida, a partir de analizar
situaciones de variación en las que sólo se conoce su razón de cambio e
inducir las primeras fórmulas para aplicarlas junto con los dos métodos de
integración.
Sección 1. La antiderivada. Primer acercamiento a la solución de
ecuaciones de los tipos:
f´(x) = c, f´(x) = ax+ b y f´(x) = axn.
En ésta sección, pretendemos que logres los siguientes aprendizajes:
• Explorar a través de tablas, gráficas o análisis del comportamiento de la
variación, situaciones o problemas cuya solución lleva a encontrar la
antiderivada de una función constante o lineal.
• Establecer la relación funcional que permite resolver el problema.
• Encontrar la función cuya derivada es dela forma f´(x) = c ó f´(x) = ax + b.
• Utilizar la condición inicial del problema para encontrar la solución particular.
• Identificar que al modificarse la condición inicial, las funciones encontradas
difieren en una constante.
• Explicar el significado de condición inicial y antiderivada.
Definición. Llamaremos a F una antiderivada o primitiva de f si F’ = f.
Ejemplo 1. Encuentra unafunción F que tenga una derivada constante igual a
4 y que además F(3) = 2.
Solución. Para que F tenga la derivada indicada, F(x) = 4x + c. Ahora, como
F(3) = 2, se tiene que F(3) = 4(3) + c = 2, de donde, c = -10, por lo que la
función buscada es: F(x) = 4x – 10.
Ejemplo 2. Determina todas las funciones F tales que F´(x) = - 7x.
Solución. Las funciones F que cumplen con la condición indicada son,por
x2
x2
x2
ejemplo: F( x ) = −7 + 3 , F( x ) = −7 + 5 , F( x ) = −7 − π , etc. Como sabes,
2
2
2
x2
la manera en que se acostumbra representar a todas, es: F( x ) = −7 + c , en
2
donde c es una constante llamada constante de integración.
Ejemplo 3. Encuentra la función F que satisfaga las siguientes condiciones:
F´(x) = 10x – 3 y F(-1) = 2 .
Solución. Como podrás concluir, lafunción que cumple con la primera
condición es: F(x) = 5x2 – 3x + c. Ahora como F(-1) = 2, 5(-1)2 – 3(-1) + c = 2,
es decir, 5 + 3 + c = 2, por lo que: c =- -6 y F(x) = 5x2 – 3x – 6.

En los casos anteriores, y en los que siguen, se puede utilizar el siguiente
resultado: la antiderivada general de f(x) = axn, con n ≠ -1 es
x n +1
+c
F(x) = a
n +1

23

Ejemplo 4. Comprueba que si F( x ) =a

xn+1
+ c , con n ≠ -1, entonces
n +1

F'( x ) = axn
Solución. Al derivar la función F, obtenemos: F'( x ) = a(n + 1)

n ≠ -1

x(n+1)−1
= a xn, con
n +1

1
, entonces su
x
antiderivada es F(x) = lnx. Lo anterior se puede formular también como sigue:
si F´(x) = x-1, entonces F(x) = lnx.
Recuerda que la derivada de lnx es 1/x, por lo que si f( x ) =

Ejemplo 5. Determina lafunción F tal que F´(x) = x-3, x > 0 y F(2) = 5.
1
x −2
+ c = − 2 + c . Y de que F(2) =
Solución. Como n = -3 y n + 1 = -2, F(x) =
2x
−2
5, se obtiene que:
1
−
+c =5
2(22 )
1 41
c=5+ =
88
1
41
La función buscada es: F(x) = − 2 +
.
2x
8
Ejemplo 6. Determina la función G, tal que G´(x) = x1/3 y G(0) = 4.
1
4
y n + 1 = , por lo tanto:
Solución. Tenemos que n =
3
3
4/3
x3
G( x ) =
+ c = x4 / 3 + c
4
4
3
Y como G(0) = 4, entonces
3 4/3
0 +c = 4
4
c=4
3 4/3
Por lo tanto: G(x) = x + 4.
4
Ejemplo 7. Encuentra la antiderivada general de h(x) = 6 3 x 2 .
2
Solución. Como 3 x 2 = x2/3, a = 6 y n = , al aplicar la regla de las potencias
3
se obtiene:
x5 / 3
3
H( x ) = 6
+ c = 6( x 5 / 3 ) + c
5
5
3
18 5 / 3
x +c
=
5

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Ejercicios 1
1.Determina la antiderivada más general de:
a) f(x) = 4
b) f(x) = k, k es una constante
c) f(x) = - 6
d) f(x) = 2x
e) f(x) = - 6x
f) f(x) = 4x + 3
2. Determina la antiderivada F que satisfaga las condiciones dadas.
a) f(x) = 2, F(0) = 0
b) f(x) = -4, F(5) = -4
c) f(x) = m, F(10) = b
d) f(x) = - 6x, F(0) = 1 e) f(x) = 4x – 7, F(2) = 3
f) f(x) = mx + b, F(0) = h
3. Determinen la...