Mantenimiento

vimiento se vuelve más y más pequeño (esto es, a medida que 􀀕 se mueve a 􀀕􀀀􀁿 y después a
􀀕􀀀􀂈, y así sucesivamente), la dirección del desplazamiento tiende a la línea tangente a la trayectoria
en 􀀔. La velocidad instantánea vS se define como el límite de la velocidad promedio
􀀤rS􀀎􀀤t conforme 􀀤t tiende a cero:
vS lím
¢tS0
¢rS
¢t
drS
dt
(4.3)
Esto es, la velocidad instantánea es igual ala derivada del vector de posición respecto del
tiempo. La dirección del vector velocidad instantánea en cualquier punto en la trayectoria
de una partícula es a lo largo de una línea tangente a la trayectoria en dicho punto y en
la dirección del movimiento.
La magnitud del vector velocidad instantánea v 􀀕 􀀀 vS 􀀀 de una partícula se llama rapidez
de la partícula, que es una cantidad escalar.Conforme una partícula se mueve de un punto a otro a lo largo de cierta trayectoria,
su vector velocidad instantánea cambia de vS
i en el tiempo ti a vS
f en el tiempo tf . Conocer
la velocidad en dichos puntos permite determinar la aceleración promedio de la partícula.
La aceleración promedio aS
prom de una partícula se define como el cambio en su vector
velocidad instantánea 􀀤vS divididopor el intervalo de tiempo 􀀤t durante el que ocurre
dicho cambio:
aS
prom
vS
f vS
i
tf ti
¢vS
¢t
(4.4)
Puesto que aS
prom es la relación de una cantidad vectorial 􀀤vS y una cantidad escalar positiva
􀀤t, se concluye que la aceleración promedio es una cantidad vectorial dirigida a lo largo
de 􀀤vS. Como se indica en la figura 4.3, la dirección de 􀀤vS se encuentra al sumar el vector
􀀒vSi (el negativo de vS
i) al vector vS
f porque, por definición, 􀀤vS 􀀕 vS
f 􀀒􀀀vS
i .
Cuando la aceleración promedio de una partícula cambia en el transcurso de diferentes
intervalos de tiempo, es útil definir su aceleración instantánea. La aceleración instantánea
aS se define como el valor límite de la proporción 􀀤vS􀀎􀀤t conforme 􀀤t tiende a cero:
aS lím
¢tS0
¢vS
¢t
dvS
dt
(4.5)
Enotras palabras, la aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad
respecto del tiempo.
Cuando una partícula acelera ocurren varios cambios. Primero, la magnitud del vector
velocidad (la rapidez) puede cambiar con el tiempo como en movimiento en línea recta
(unidimensional). Segundo, la dirección del vector velocidad puede cambiar con el tiempo
incluso si su magnitud(rapidez) permanece constante como en movimiento bidimensional
a lo largo de una trayectoria curva. Por último, tanto la magnitud como la dirección del
vector velocidad pueden cambiar simultáneamente.
􀀱 Velocidad instantánea
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 4.1
Suma vectorial
Aunque la suma vectorial
discutida en el capítulo 3
involucra vectores
desplazamiento, la suma vectorial
se puede aplicara cualquier
tipo de cantidad vectorial. Por
ejemplo, la figura 4.3 muestra la
suma de vectores velocidad con
el uso del enfoque gráfico.
􀀱 Aceleración promedio
􀀱 Aceleración instantánea
Figura 4.3 Una partícula se mueve de la posición 􀀔 a la posición 􀀕. Su vector velocidad cambia de vS
i a
vS
f . Los diagramas vectoriales arriba a la derecha muestran dos formas de determinar el vector􀀤vS de las
velocidades inicial y final.
x
y
O
􀀔 vi
ri
rf
vf
􀀕
–vi
􀀤v vf
o
vi
v 􀀤v f
Sección 4.1 Vectores de posición, velocidad y aceleración 73
74 Capítulo 4 Movimiento en dos dimensiones
Pregunta rápida 4.1 Considere los siguientes controles en un automóvil: acelerador,
freno, volante. ¿En esta lista cuáles son los controles que provocan una aceleración en el
automóvil? a) los trescontroles, b) el acelerador y el freno, c) sólo el freno, d) sólo
el acelerador.
4.2 Movimiento en dos dimensiones
con aceleración constante
En la sección 2.5 se investigó el movimiento unidimensional de una partícula bajo aceleración
constante. Ahora considere el movimiento bidimensional durante el cual la aceleración
de una partícula permanece constante tanto en magnitud como en...