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Publicado: 12 de octubre de 2014
Ejemplos de progresiones geométricas[editar]
La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
La razón no necesariamente tiene que ser unnúmero entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo deprogresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
Un caso especiales cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertos autores que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que r \ne 0 en la definición.
Suma de términosde una progresión geométrica[editar]
Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica[editar]
Se denomina como Sn a la suma de los n primeros términos consecutivos de una progresióngeométrica:
S_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de laprogresión r.
r \cdot S_n = r \cdot (a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n)
r \cdot S_n = r \cdot a_1 + r \cdot a_2 + ... + r \cdot a_{n-1} + r \cdot a_n
puesto que r \cdot a_i = a_{i+1}
r \cdot S_n =a_2 + a_3 +... + a_n + a_{n+1}
Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
r \cdot S_n - S_n =a_{n+1} - a_1
ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.
DespejandoS_n
S_n = \frac{a_{n+1} - a_1}{r - 1} = \frac{a_1 \cdot r^n - a_1}{r - 1} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuandose conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como
S_n = \frac{a_1 \cdot r^n - a_1}{r - 1}...
La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
La razón no necesariamente tiene que ser unnúmero entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo deprogresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
Un caso especiales cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertos autores que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que r \ne 0 en la definición.
Suma de términosde una progresión geométrica[editar]
Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica[editar]
Se denomina como Sn a la suma de los n primeros términos consecutivos de una progresióngeométrica:
S_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de laprogresión r.
r \cdot S_n = r \cdot (a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n)
r \cdot S_n = r \cdot a_1 + r \cdot a_2 + ... + r \cdot a_{n-1} + r \cdot a_n
puesto que r \cdot a_i = a_{i+1}
r \cdot S_n =a_2 + a_3 +... + a_n + a_{n+1}
Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
r \cdot S_n - S_n =a_{n+1} - a_1
ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.
DespejandoS_n
S_n = \frac{a_{n+1} - a_1}{r - 1} = \frac{a_1 \cdot r^n - a_1}{r - 1} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuandose conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como
S_n = \frac{a_1 \cdot r^n - a_1}{r - 1}...
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