mat023 resumen certamen 1

Resumen Certamen 1 - MAT023
1er Semestre 2010

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1.

Funciones y curvas de Nivel

Las curvas de nivel las podemos entender de la siguiente forma; si tenemos una funci´on f (x, y) , que es una
funci´
on de dos variables, tendremos que las intersecciones con los planos en donde z = cte ser´an las curvas de nivel.
Ejemplos
1. Sea z = f (x, y) = x2 + y 2 , encontrar las curvas denivel.
Primero vemos que el dominio es: R2 , ahora aplicamos lo que se nombr´o arriba, que es poner z = cte.
Tambi´en podemos ver las curvas de nivel dando valores para x = 0 y z = 0. Con x = 0 e y = 0:
x = 0 ⇒ z = y2
y = 0 ⇒ z = x2
Con lo que se forma un paraboloide, que ser´ıa algo as´ı:

Hay que notar que son todos estos ejercicios son iguales, y se tratan de la misma manera. Algo m´ascomplicado
es como el de la tarea No 1 de Casa central, en donde se ped´ıa lo siguiente:
2. Encuentre las curvas de nivel para: f (x, y) = (x + y + 1)(x2 + y 2 ).
Equivalentemente, f (x, y) = (x + y + 1)(x + y)(x − y). Sea z = cte = c.

1

Analizamos por casos, primero si c = 0. Igualamos la funci´on a 0:
0 = (x + y + 1)(x + y)(x − y)
Y despejando llegaremos a que:
y = −x
y=x
y = −x − 1
La gr´
afica nosquedar´ıa:

Ahora para c = 0 usamos cambio de variable, para entender mejor el procedimiento.
w =x+y
v =x−y
c = (w + 1)wv
c
⇒ v = w(w+1)
; w ∈ − {0, −1}
Pero al ver el caso de c = 0, tendremos 2 nuevos casos, que es si es mayor que cero, o si es menor que cero.
Tenemos para c < 0:
c
l´ım
= 0−
w→−∞ w(w+1)
c
l´ım w(w+1)
= +∞
w→0−

l´ım

w→−1−

l´ım

w→0+

c
w(w+1) = −∞
c
w(w+1) = −∞

w→−1+

c
w(w+1)c
l´ım
w→∞ w(w+1)

c
w(w+1) = +∞
c
w(w+1) = +∞

w→−1+

l´ım

= +∞
= 0−

y para c > 0:
c
l´ım
= 0+
w→−∞ w(w+1)
c
l´ım w(w+1)
= −∞
w→0−

l´ım

w→−1−

l´ım

w→0+

2

c
w(w+1)
c
l´ım
w→∞ w(w+1)

l´ım

= −∞
= 0+

El mismo gr´
afico, pero al contrario a ese, es decir en donde hab´ıa gr´afica, ahora no hay, y donde no hab´ıa,
ahora hay gr´
afica.
Notar que para hacer bosquejos de estas gr´aficas bastatomar los l´ımites y ver hacia donde se va la funci´
on,
o darse puntos (s´
olo porque es un bosquejo).
Luego debemos volver a las variables originales, usando matrices nos queda:
Se puede ver que:
w
v

=

x+y
x−y

=

1
1

1
−1

x
y

Luego, vemos la rotaci´
on que necesitamos usando una matriz inversa:
1
1

1
−1

−1

=

1
2

1
1

1
−1

=

1
2

1
1

1
−1

De la pen´
ultima matriz se puede saber queexiste una rotaci´on de
reflexi´
on respecto al eje x.

π
4

1
0

0
−1

y de la u
´ltima matriz que existe una

De donde finalmente, se tienen las gr´
aficas de nivel como sigue:

2.

L´ımites y Continuidad
El l´ımite de una funci´
on en un punto, si existe, es u
´nico.
Ejemplos

1. Probar :

x2 y
l´ım
2
2
(x,y)→(0,0) x +y

=0
∀ε > 0, ∃δ > 0/

Hip´
otesis:
Tesis:

2

x y
x2 +y 2

x2 + y 2 < δ ⇒

x2y
−0 <ε
+ y2

x2

x2 + y 2 < δ
−0 <ε
x2 y
(x2 + y 2 ) x2 + y 2
x2 y
−
0
=
≤
x2 + y 2
x2 + y 2
(x2 + y 2 )

(El u
´ltimo paso lo explico aqu´ı:
x2 ≤ x2 + y 2 ⇒ y ≤ x2 + y 2 ⇒ y ≤

x2 + y 2

luego reemplac´e, el x y el y)
(x2 + y 2 ) x2 + y 2
=
(x2 + y 2 )

3

x2 + y 2 < δ < ε

2. Analizar si existe el l´ımite:
l´ım

(x,y)→(0,0) x2

x2
1
xy
= (y = x) =
l´ım
=
2
2
+y
2
(x,y)→(0,0) x + x2

Nosaproximamos por la recta y = x, ahora nos aproximaremos por otra recta, o mejor, por todas las rectas
y = mx.
x2 m
1
xy
= (y = mx) =
l´ım
=
l´ım
2
2
2
1 + m2
(x,y)→(0,0) x + x2 m2
(x,y)→(0,0) x + y
Y vemos que el resultado del l´ımite, depende de m, por lo tanto se concluye que no existe el l´ımite, esto sirve
siempre para ver que NO existe el l´ımite, si nos aproximamos por 2 rectas y nos da el mismoresultado
del l´ımite, ah´ı debemos comprobarlo por definici´on, como ya se hizo en el ejemplo 1.
3. Continuidad en un punto. Determinar a, si existe, talque f sea continua en (0, 0).
 x3 y
(x, y) = 0
 x2 +y2
f (x, y) =

a
(x, y) = 0
Nos acercamos por rectas para verificar si NO es continua.
x3 y
2 +y 2
x
(x,y)→(0,0)
x3 y
l´ım
2 +y 2
x
(x,y)→(0,0)

= (y = x) =

l´ım

= (y = mx)

x4
2 +x2 = 0...