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Ecuación Diferencial

Se llama ecuación diferencial a una ecuación que liga la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas y´, y´´,...,y(n), es decir, una ecuación de la forma:
En otras palabras, se llama ecuación diferencial a una ecuación en la que figura la derivada o la diferencial de la función incógnita.
Diferencial Exacta
Una ecuación diferencial M(x,y) +N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.
Ecuación de Bernoulli
La ecuación diferencial
dy + P(x)y = f(x)yn
dx
en que n escualquier numero real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u = y 1-n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuacion lineal.

Clasificación De Las Ecuaciones Diferenciales
• TIPO
Ordinarias y parciales
Para desarrollar sistemáticamente la teoría de las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones mas obviasse basa en si la función desconocida depende de una o de varias variables independientes. En el primer caso solo aparecen derivadas ordinarias en la ecuación diferencial y se dice que es ecuación diferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuación se llama ecuación diferencial parcial.
Ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias:
1.-
2.-
• ORDEN.
Elorden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,
d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex
dx2 dx
es una ecuacióndiferencial de segundo orden.
•

• GRADO.
Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial.
Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la cual se basa en si éstas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuación diferencial
Es lineal cuando F es una función lineal en lasvariables y,y´,y(n). Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es . 3.-
La ecuación que no es de la forma (3), es un ecuación no lineal.
Un problema físico sencillo que de origen a una ecuación diferencial no lineal es el péndulo oscilante.
ecuación Diferencial Lineal
La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es como sigue:
an(x)dny + a n-1(x) d n-1y+ ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)
dxn dx n-1 dx
Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son funciones de x y que y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.

La ecuaciones Diferencial lineal invariante en el tiempo.
Es aquella en la cual una variable dependiente y sus derivadasaparecen como combinaciones lineales.
Ejemplo: (4 )
Puesto que los coeficientes de todos los términos son constantes, una ec. Diferencial lineal invariante en el tiempo también se denomina ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.
En el caso de una ecuación diferencial lineal variante en el tiempo la variable dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales, para algunosde los coeficientes de los términos pueden involucrar a la variable independiente.
Ejemplo: (5)
Es importante recordar que un objeto de que sea lineal, la ec. No debe contener potencias productos u otras funciones de las variables dependientes y sus derivadas
Origen De Las Ecuaciones Diferenciales (Modelos Físicos).
• Modelos Físicos, Modelos Matemáticos
Cualquier tentativa de diseño de...